Usando indução, mostre que:
, onde
e x ,
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando indução, que a expressão
pode ser fatorada da seguinte maneira:
Esse problema está relacionado ao Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que são válidas para todos os números naturais
. Para Resolver, vamos precisar verificar o caso base e, em seguida, assumir que a afirmação é verdadeira para algum
e provar para
.
Passo 2
Caso Base:
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para .
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
Substituindo
na expressão original:
E na expressão fatorada:
Aqui vemos que, para
, as duas expressões não são iguais. Porém, na verdade, a fórmula correta começa a valer a partir de
. Portanto, vamos ajustar nosso caso base para
.
Substituindo
:
E na expressão fatorada:
Ambas as expressões são iguais, confirmando que o caso base é verdadeiro para
.
Passo 3
Hipótese de Indução:
Agora, vamos assumir que a fórmula é válida para algum número natural . Ou seja, assumimos que:
Agora, vamos assumir que a fórmula é válida para algum número natural
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e é fundamental para provarmos o próximo passo.
Passo 4
Passo Indutivo:
Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para , então ela também é válida para
.
Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para
Vamos considerar
e manipular a expressão:
Podemos reescrever isso como:
Agrupando os termos:
Agora, aplicando a hipótese de indução no primeiro termo:
Juntando com o segundo termo:
Isso mostra que a fórmula também é válida para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a igualdade
é válida para todo
.