Usando indução, mostre que: x^n-y^n=(x-y)(x^n-1+x^n-2 y+cdots+x^n-j y^n-1+cdots+y^n-1), onde n in N e x , y in R.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar, usando indução, que a expressão x^n - y^n = (x - y)(x^n-1 + x^n-2 y + cdots + y^n-1) pode ser fatorada da seguinte maneira:
Esse problema está relacionado ao Princípio da Indução Matemática, que é uma técnica usada para provar afirmações que são válidas para todos os números naturais . Para Resolver, vamos precisar verificar o caso base e, em seguida, assumir que a afirmação é verdadeira para algum e provar para .

Passo 2

Caso Base:
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para x^1 - y^1 = x - y .
Substituindo (x - y)(x^1-1 + y^1-1) = (x - y)(1 + 1) = 2(x - y) na expressão original:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)
E na expressão fatorada:
(x - y)(x^2-1 + y^2-1) = (x - y)(x + y)
Aqui vemos que, para , as duas expressões não são iguais. Porém, na verdade, a fórmula correta começa a valer a partir de . Portanto, vamos ajustar nosso caso base para .
Substituindo :
E na expressão fatorada:
Ambas as expressões são iguais, confirmando que o caso base é verdadeiro para .

Passo 3

Hipótese de Indução:
Agora, vamos assumir que a fórmula é válida para algum número natural x^k - y^k = (x - y)(x^k-1 + x^k-2 y + cdots + y^k-1) . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução e é fundamental para provarmos o próximo passo.

Passo 4

Passo Indutivo:
Precisamos mostrar que, se a fórmula é válida para x^k+1 - y^k+1 = x cdot x^k - y cdot y^k , então ela também é válida para x^k+1 - y^k+1 = x cdot x^k - x cdot y^k + x cdot y^k - y cdot y^k .
Vamos considerar x^k+1 - y^k+1 = x(x^k - y^k) + y^k(x - y) e manipular a expressão:
x(x^k - y^k) = x(x - y)(x^k-1 + x^k-2 y + cdots + y^k-1)
Podemos reescrever isso como:
x^k+1 - y^k+1 = (x - y)(x^k + x^k-1 y + cdots + y^k)
Agrupando os termos:
Agora, aplicando a hipótese de indução no primeiro termo:
Juntando com o segundo termo:
Isso mostra que a fórmula também é válida para .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a igualdade
x^n - y^n = (x - y)(x^n-1 + x^n-2 y + cdots + y^n-1)
é válida para todo .

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