Prove que se
e
são tais que
então
e
(daí obtemos as partes real e imaginária do inverso multiplicativo de
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois números complexos,
e
, e a condição é que
. Nosso objetivo aqui é mostrar que as partes reais e imaginárias de
são
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e igualar as partes reais e imaginárias.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar
e
. Sabemos que:
Usando a regra da multiplicação de binômios, a gente expande isso:
Como
, simplificamos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:
Passo 3
Sabemos que
, que pode ser escrito como
(já que não tem parte imaginária). Então, podemos igualar as partes reais e imaginárias das duas expressões:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver para
e
. Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Fatorando
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos voltar na expressão que encontramos para
:
Resposta
Assim, demonstramos que:
Esses são os valores das partes real e imaginária do inverso multiplicativo de
.