Prove que se z = a + i b e w = c + i d são tais que z w = 1 então c = a / (a^2 + b^2) e d = -b / (a^2 + b^2) (daí obtemos as partes real e imaginária do inverso multiplicativo de z != 0 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois números complexos, e , e a condição é que . Nosso objetivo aqui é mostrar que as partes reais e imaginárias de são e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar números complexos e igualar as partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar e . Sabemos que:
Usando a regra da multiplicação de binômios, a gente expande isso:
Como , simplificamos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e imaginárias:

Passo 3

Sabemos que , que pode ser escrito como (já que não tem parte imaginária). Então, podemos igualar as partes reais e imaginárias das duas expressões:
á

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver para e . Da segunda equação, podemos isolar :
Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando tudo por para eliminar o denominador:
Fatorando :

Passo 5

Agora que temos , podemos voltar na expressão que encontramos para :

Resposta

Assim, demonstramos que:
Esses são os valores das partes real e imaginária do inverso multiplicativo de .

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