Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número complexo
e
, a igualdade
é válida. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos, especificamente envolvendo conjugados e módulos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como calcular o módulo dele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária, e
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
O conjugado de
, denotado por
, é simplesmente mudar o sinal da parte imaginária. Então, se
, então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Multiplicando
pelo seu conjugado:
Passo 5
Fazendo a multiplicação:
Simplificando os termos:
Percebemos que os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos na expressão:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. O módulo de
é dado por:
Então, o quadrado do módulo é:
Resposta
Concluímos que
para todo
, já que ambos são iguais a
.