Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos z, w in C : z * z_barra = |z|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para qualquer número complexo e , a igualdade é válida. Isso está dentro do conteúdo de Números Complexos, especificamente envolvendo conjugados e módulos. Para resolver, vamos precisar entender o que é o conjugado de um número complexo e como calcular o módulo dele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo pode ser escrito como , onde é a parte real e é a parte imaginária, e é a unidade imaginária ( ).

Passo 3

O conjugado de , denotado por , é simplesmente mudar o sinal da parte imaginária. Então, se , então .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Multiplicando pelo seu conjugado:

Passo 5

Fazendo a multiplicação:
Simplificando os termos:
Percebemos que os termos e se cancelam, restando:

Passo 6

Lembrando que , substituímos na expressão:

Passo 7

Agora, vamos calcular . O módulo de é dado por:
Então, o quadrado do módulo é:

Resposta

Concluímos que para todo , já que ambos são iguais a .

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