Prove as seguintes afirmações: (a) desprezando os efeitos do ar, quando você lança qualquer objeto verticalmente para cima, ele possui a mesma velocidade em seu ponto de lançamento tanto durante a ascensão quanto durante a queda. (b) O tempo total da trajetória é igual ao dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar duas coisas sobre o movimento de um objeto lançado verticalmente para cima, sem considerar o efeito do ar. A matéria envolvida aqui é a Cinemática, que estuda como os objetos se movem. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado, já que a única força atuando é a gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que acontece quando você lança um objeto para cima. Ele sobe, para por um instante no ponto mais alto e depois começa a descer. A aceleração que atua sobre ele é a da gravidade, que sempre puxa pra baixo e tem o valor de aproximadamente .

Passo 3

A velocidade inicial do objeto quando é lançado para cima é . Durante a subida, a velocidade vai diminuindo até chegar a zero no ponto mais alto. Na descida, a velocidade começa a aumentar novamente, mas agora no sentido contrário (para baixo).

Passo 4

Agora, como a aceleração é constante e a trajetória é simétrica (subida e descida com as mesmas condições), a velocidade com que o objeto passa pela posição de lançamento durante a descida será igual em módulo, mas com direção contrária. Ou seja, durante a subida, a velocidade no ponto de lançamento é , e na descida é .

Passo 5

Isso prova a primeira afirmação: a velocidade tem o mesmo valor (em módulo) durante a ascensão e a queda no ponto de lançamento, ou seja, na subida e na descida.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda afirmação sobre o tempo total da trajetória. Vamos chamar o tempo que o objeto leva para atingir a altura máxima de .

Passo 7

Na subida, o tempo para chegar ao ponto mais alto é quando a velocidade final é zero. Usando a equação , se , temos:

Passo 8

Esse é o tempo para subir. Mas a descida vai demorar o mesmo tempo para voltar ao ponto de lançamento, já que a trajetória é simétrica. Portanto, o tempo total é:

Resposta

Assim, provamos que:
(a) A velocidade do objeto no ponto de lançamento é a mesma durante a ascensão e a queda.
(b) O tempo total da trajetória é o dobro do tempo que o objeto leva para atingir sua altura máxima, ou seja, .

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a.
b.
c.
d.
e.
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