Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se n é um número triangular, então 9 n+1,25 n+3, e 49 n+6 também são números triangulares. (Euler, 1775)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se é um número triangular, então , e também são números triangulares. Isso envolve o conceito de números triangulares, que são números da forma , onde é um número inteiro positivo. Para resolver, vamos precisar entender essa fórmula e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número triangular. Se 9n + 1 = 9(k(k+1)2) + 1 = 9k(k+1)2 + 1 , então queremos encontrar um número inteiro tal que . Vamos substituir na equação:

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que 9k(k+1)2 + 1 = m(m+1)2 pode ser escrito na forma 9k(k+1) + 2 = m(m+1) . Para isso, vamos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver em termos de m^2 + m - 9k^2 - 9k - 2 = 0 :
m = -1 pm raiz1 + 4(9k^2 + 9k + 2)2
Essa é uma equação quadrática em termos de raiz1 + 36k^2 + 36k + 8 = raiz36k^2 + 36k + 9 = 6k + 3 . Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula para m = -1 pm (6k + 3)2 :
m = -1 + 6k + 32 = 6k + 22 = 3k + 1
Considerando apenas a solução positiva:
Então, .

Passo 6

Agora, sabemos que Tm = m(m+1)2 = (3k + 1)(3k + 2)2 = 9k^2 + 9k + 22 = 9k(k + 1)2 + 1 , vamos verificar se isso satisfaz a condição de número triangular:
Isso confirma que é realmente um número triangular.

Resposta

Seguindo os passos acima, provamos que se é um número triangular, então também é um número triangular. De forma similar, os outros casos e podem ser demonstrados usando o mesmo método, confirmando que todos são números triangulares.

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