Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se é um número triangular, então , e também são números triangulares. (Euler, 1775)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se é um número triangular, então , e também são números triangulares. Isso envolve o conceito de números triangulares, que são números da forma , onde é um número inteiro positivo. Para resolver, vamos precisar entender essa fórmula e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número triangular. Se , então queremos encontrar um número inteiro tal que . Vamos substituir na equação:

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que pode ser escrito na forma . Para isso, vamos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver em termos de :
Essa é uma equação quadrática em termos de . Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 5

Substituindo de volta na fórmula para :
Considerando apenas a solução positiva:
Então, .

Passo 6

Agora, sabemos que , vamos verificar se isso satisfaz a condição de número triangular:
Isso confirma que é realmente um número triangular.

Resposta

Seguindo os passos acima, provamos que se é um número triangular, então também é um número triangular. De forma similar, os outros casos e podem ser demonstrados usando o mesmo método, confirmando que todos são números triangulares.

Exercícios relacionados

Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma para algum . (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)
Encontre , e .
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .
Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b , existem inteiros únicos e que satisfazem , onde . [Dica: Primeiro escreva , onde . Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe e ; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe se ou se .]