Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se
é um número triangular, então
, e
também são números triangulares. (Euler, 1775)
d) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que, se
é um número triangular, então
,
e
também são números triangulares. Isso envolve o conceito de números triangulares, que são números da forma
, onde
é um número inteiro positivo. Para resolver, vamos precisar entender essa fórmula e como manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número triangular. Se
, então queremos encontrar um número inteiro
tal que
. Vamos substituir
na equação:
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que
pode ser escrito na forma
. Para isso, vamos igualar as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver em termos de
:
Essa é uma equação quadrática em termos de
. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na fórmula para
:
Considerando apenas a solução positiva:
Então,
.
Passo 6
Agora, sabemos que
, vamos verificar se isso satisfaz a condição de número triangular:
Isso confirma que
é realmente um número triangular.
Resposta
Seguindo os passos acima, provamos que se
é um número triangular, então
também é um número triangular. De forma similar, os outros casos
e
podem ser demonstrados usando o mesmo método, confirmando que todos são números triangulares.
Exercícios relacionados
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma para algum
. (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma
Encontre
, e
.
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou
Obtenha a seguinte versão do Algoritmo da Divisão: Para inteiros a e b, com b
, existem inteiros únicos
e
que satisfazem
, onde
. [Dica: Primeiro escreva
, onde
. Quando $0 \leqslant r^{\prime} \leqslant \frac{1}{2}|\mathbf{b}|, deixe
e
; quando $\frac{1}{2}|b|<r^{\prime}<|b|, deixe
se
ou
se
.]