Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma n(n+1)2 para algum n >= 1. (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que um número é triangular se e somente se ele puder ser escrito na forma n(n+1)2 para algum número inteiro n >= 1. Números triangulares são aqueles que podem ser representados como pontos formando um triângulo equilátero. Para resolver isso, vamos usar a fórmula mencionada e mostrar que ela realmente descreve todos os números triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa a fórmula n(n+1)2. Aqui, n representa a quantidade de camadas ou linhas do triângulo. Por exemplo, se n = 3, a fórmula dá 3 times 42 = 6, que é o terceiro número triangular (1, 3, 6, 10, …).

Passo 3

Para provar a direcionalidade “se”, ou seja, se um número tem a forma n(n+1)2, então ele é triangular:
  • Suponha que temos um número T = n(n+1)2.
  • Podemos representar T como a soma dos primeiros n números naturais: T = 1 + 2 + 3 + dots + n.
  • Visualmente, isso forma um triângulo com n camadas, onde cada camada adicional adiciona mais pontos formando a próxima linha do triângulo.
  • Portanto, T é um número triangular.

Passo 4

Agora, para a direcionalidade “somente se”, ou seja, se um número é triangular, então ele pode ser escrito na forma n(n+1)2:
  • Suponha que temos um número triangular T.
  • Por definição, T pode ser representado como a soma dos primeiros n números naturais para algum n >= 1.
  • Então, T = 1 + 2 + 3 + dots + n = n(n+1)2 (usando a fórmula da soma dos primeiros n números naturais).
  • Assim, T tem a forma n(n+1)2.

Resposta

Portanto, mostramos que um número é triangular se e somente se ele pode ser escrito na forma n(n+1)2 para algum n >= 1.

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