Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma para algum . (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que um número é triangular se e somente se ele puder ser escrito na forma para algum número inteiro . Números triangulares são aqueles que podem ser representados como pontos formando um triângulo equilátero. Para resolver isso, vamos usar a fórmula mencionada e mostrar que ela realmente descreve todos os números triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa a fórmula . Aqui, representa a quantidade de camadas ou linhas do triângulo. Por exemplo, se , a fórmula dá , que é o terceiro número triangular (1, 3, 6, 10, …).

Passo 3

Para provar a direcionalidade “se”, ou seja, se um número tem a forma , então ele é triangular:
  • Suponha que temos um número .
  • Podemos representar como a soma dos primeiros números naturais: .
  • Visualmente, isso forma um triângulo com camadas, onde cada camada adicional adiciona mais pontos formando a próxima linha do triângulo.
  • Portanto, é um número triangular.

Passo 4

Agora, para a direcionalidade “somente se”, ou seja, se um número é triangular, então ele pode ser escrito na forma :
  • Suponha que temos um número triangular .
  • Por definição, pode ser representado como a soma dos primeiros números naturais para algum .
  • Então, (usando a fórmula da soma dos primeiros números naturais).
  • Assim, tem a forma .

Resposta

Portanto, mostramos que um número é triangular se e somente se ele pode ser escrito na forma para algum .

Exercícios relacionados

Encontre , e .
Prove que não é um número inteiro para .
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se é um número triangular, então , e também são números triangulares. (Euler, 1775)
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .