Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma
para algum
. (Pitágoras, cerca de 550 a.C.)
a) Um número é triangular se e somente se ele for da forma
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos provar que um número é triangular se e somente se ele puder ser escrito na forma
para algum número inteiro
. Números triangulares são aqueles que podem ser representados como pontos formando um triângulo equilátero. Para resolver isso, vamos usar a fórmula mencionada e mostrar que ela realmente descreve todos os números triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa a fórmula
. Aqui,
representa a quantidade de camadas ou linhas do triângulo. Por exemplo, se
, a fórmula dá
, que é o terceiro número triangular (1, 3, 6, 10, …).
Passo 3
Para provar a direcionalidade “se”, ou seja, se um número tem a forma
, então ele é triangular:
- Suponha que temos um número
. - Podemos representar
como a soma dos primeiros números naturais: . - Visualmente, isso forma um triângulo com
camadas, onde cada camada adicional adiciona mais pontos formando a próxima linha do triângulo. - Portanto,
é um número triangular.
Passo 4
Agora, para a direcionalidade “somente se”, ou seja, se um número é triangular, então ele pode ser escrito na forma
:
- Suponha que temos um número triangular
. - Por definição,
pode ser representado como a soma dos primeiros números naturais para algum . - Então,
(usando a fórmula da soma dos primeiros números naturais). - Assim,
tem a forma .
Resposta
Portanto, mostramos que um número é triangular se e somente se ele pode ser escrito na forma
para algum
.
Exercícios relacionados
Encontre
, e
.
Prove que
não é um número inteiro para
.
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
d) Se é um número triangular, então
, e
também são números triangulares. (Euler, 1775)
d) Se
Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou .
a) O quadrado de qualquer inteiro é da forma 3 k ou