Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra usar o Algoritmo da Divisão pra mostrar que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma ou . Isso vai envolver entender como números se comportam quando divididos por 5 e como as potências deles se encaixam nesse esquema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Ele basicamente diz que quando dividimos um número inteiro por 5, o resto pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Ou seja, qualquer número inteiro pode ser escrito como:
onde é o quociente e é o resto, sendo .

Passo 3

Agora, vamos levantar cada uma dessas possibilidades à quarta potência e ver qual a forma que elas assumem quando divididas por 5.
  1. Quando :
Como 625 é múltiplo de 5, temos:
onde .
  1. Quando :
Ao expandir isso, todos os termos que contêm serão múltiplos de 5, exceto o último termo:
onde engloba todos os termos múltiplos de 5.
  1. Quando :
Expandindo, temos:
Como 16 dividido por 5 dá resto 1, então:
  1. Quando :
Expandindo:
81 dividido por 5 dá resto 1, então:
  1. Quando :
Expandindo:
256 dividido por 5 dá resto 1, então:

Resposta

Assim, mostramos que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma ou .

Exercícios relacionados

Mostre que qualquer inteiro da forma também é da forma , mas o contrário não é verdadeiro.
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou .
Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de ), então ele deve ser da forma 7 k ou .