Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou 5 k+1.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra usar o Algoritmo da Divisão pra mostrar que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma ou . Isso vai envolver entender como números se comportam quando divididos por 5 e como as potências deles se encaixam nesse esquema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Ele basicamente diz que quando dividimos um número inteiro por 5, o resto pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Ou seja, qualquer número inteiro n = 5q + r pode ser escrito como:
onde é o quociente e é o resto, sendo .

Passo 3

Agora, vamos levantar cada uma dessas possibilidades à quarta potência e ver qual a forma que elas assumem quando divididas por 5.
  1. Quando n = 5q :
n^4 = (5q)^4 = 5^4 q^4 = 625 q^4
n^4 = 5 times 125 q^4 = 5k
Como 625 é múltiplo de 5, temos:
n = 5q + 1
onde n^4 = (5q + 1)^4 .
  1. Quando n^4 = 5k + 1 :
n = 5q + 2
n^4 = (5q + 2)^4
Ao expandir isso, todos os termos que contêm n^4 = 5k + 16 serão múltiplos de 5, exceto o último termo:
n^4 = 5k + 1
onde n = 5q + 3 engloba todos os termos múltiplos de 5.
  1. Quando n^4 = (5q + 3)^4 :
n^4 = 5k + 81
n^4 = 5k + 1
Expandindo, temos:
n = 5q + 4
Como 16 dividido por 5 dá resto 1, então:
n^4 = (5q + 4)^4
  1. Quando n^4 = 5k + 256 :
n^4 = 5k + 1
Expandindo:
81 dividido por 5 dá resto 1, então:
  1. Quando :
Expandindo:
256 dividido por 5 dá resto 1, então:

Resposta

Assim, mostramos que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma ou .

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