Use o Algoritmo da Divisão para estabelecer o seguinte:
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou
.
c) A quarta potência de qualquer inteiro é da forma 5 k ou
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra usar o Algoritmo da Divisão pra mostrar que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma
ou
. Isso vai envolver entender como números se comportam quando divididos por 5 e como as potências deles se encaixam nesse esquema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Algoritmo da Divisão. Ele basicamente diz que quando dividimos um número inteiro por 5, o resto pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4. Ou seja, qualquer número inteiro
pode ser escrito como:
onde
é o quociente e
é o resto, sendo
.
Passo 3
Agora, vamos levantar cada uma dessas possibilidades à quarta potência e ver qual a forma que elas assumem quando divididas por 5.
- Quando
:
Como 625 é múltiplo de 5, temos:
onde
.
- Quando
:
Ao expandir isso, todos os termos que contêm
serão múltiplos de 5, exceto o último termo:
onde
engloba todos os termos múltiplos de 5.
- Quando
:
Expandindo, temos:
Como 16 dividido por 5 dá resto 1, então:
- Quando
:
Expandindo:
81 dividido por 5 dá resto 1, então:
- Quando
:
Expandindo:
256 dividido por 5 dá resto 1, então:
Resposta
Assim, mostramos que a quarta potência de qualquer número inteiro é da forma
ou
.
Exercícios relacionados
Mostre que qualquer inteiro da forma
também é da forma
, mas o contrário não é verdadeiro.
Prove os seguintes fatos sobre números triangulares:
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
c) A soma de dois números triangulares consecutivos é um quadrado perfeito. (Nicomaco, cerca de 100 d.C.)
Mostre que o cubo de qualquer inteiro é da forma 7 k ou
.
Verifique que, se um número inteiro é simultaneamente um quadrado e um cubo (como é o caso de
), então ele deve ser da forma 7 k ou
.