Seja z=r e^i theta um número complexo dado. Use a) para provar que as n raízes complexas da equação: w^n=z vem dadas por:
wk=r^1n[cos (theta+2 k pin)+i sen(theta+2 k pin)], k=0,1,2, ldots, n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um número complexo na forma polar, wk = r^1n [ cos( theta + 2 k pin ) + i sen( theta + 2 k pin ) ], k = 0, 1, 2, ldots, n-1 , e pede para provar que as raízes complexas da equação são dadas por:
Vamos usar conceitos de números complexos na forma polar e a fórmula de De Moivre para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma polar é representado por , onde é o módulo e é o argumento de . Queremos encontrar as soluções para na equação .

Passo 3

Para resolver , vamos expressar também na forma polar: , onde é o módulo de e é o argumento de .

Passo 4

Aplicando a potência w^n = (rho e^i phi)^n = rho^n e^i n phi em , temos:
Essa expressão deve ser igual a .

Passo 5

Igualando os módulos:
rho^n = r Rightarrow rho = r^1n
Portanto, o módulo de cada raiz é .

Passo 6

Igualando os argumentos:
n phi = theta + 2 k pi Rightarrow phi = theta + 2 k pin, k = 0, 1, 2, ldots, n-1
Aqui, adicionamos para considerar todas as raízes possíveis no círculo complexo.

Passo 7

Assim, cada raiz wk = r^1n [ cos( theta + 2 k pin ) + i sen( theta + 2 k pin ) ] pode ser escrita como:
para .

Resposta

As wk = r^1n [ cos( theta + 2 k pin ) + i sen( theta + 2 k pin ) ], k = 0, 1, 2, ldots, n-1 raízes complexas da equação são dadas por:

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