Seja
um número complexo dado. Use a) para provar que as
raízes complexas da equação:
vem dadas por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá um número complexo na forma polar,
, e pede para provar que as
raízes complexas da equação
são dadas por:
Vamos usar conceitos de números complexos na forma polar e a fórmula de De Moivre para encontrar essas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma polar é representado por
, onde
é o módulo e
é o argumento de
. Queremos encontrar as soluções para
na equação
.
Passo 3
Para resolver
, vamos expressar
também na forma polar:
, onde
é o módulo de
e
é o argumento de
.
Passo 4
Aplicando a potência
em
, temos:
Essa expressão deve ser igual a
.
Passo 5
Igualando os módulos:
Portanto, o módulo de cada raiz é
.
Passo 6
Igualando os argumentos:
Aqui, adicionamos
para considerar todas as raízes possíveis no círculo complexo.
Passo 7
Assim, cada raiz
pode ser escrita como:
para
.
Resposta
As
raízes complexas da equação
são dadas por:
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Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(a) e
(a)
Prove as seguintes igualdades:
i)
i)
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
ii)
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) e
(b)