Seja um número complexo dado. Use a) para provar que as raízes complexas da equação: vem dadas por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um número complexo na forma polar, , e pede para provar que as raízes complexas da equação são dadas por:
Vamos usar conceitos de números complexos na forma polar e a fórmula de De Moivre para encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo na forma polar é representado por , onde é o módulo e é o argumento de . Queremos encontrar as soluções para na equação .

Passo 3

Para resolver , vamos expressar também na forma polar: , onde é o módulo de e é o argumento de .

Passo 4

Aplicando a potência em , temos:
Essa expressão deve ser igual a .

Passo 5

Igualando os módulos:
Portanto, o módulo de cada raiz é .

Passo 6

Igualando os argumentos:
Aqui, adicionamos para considerar todas as raízes possíveis no círculo complexo.

Passo 7

Assim, cada raiz pode ser escrita como:
para .

Resposta

As raízes complexas da equação são dadas por:

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Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(a) e
Prove as seguintes igualdades:
i)
Usando a forma polar dos números complexo correspondente, ache:
ii)
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
(b) e