Prove as seguintes igualdades:
ii)
ii)
Passo 1
Beleza, então a gente tem que provar que a expressão
é igual a
. Isso envolve trabalhar com números complexos e transformar a forma retangular
para a forma polar ou exponencial. Para resolver isso, vamos precisar calcular o módulo do número complexo e o seu argumento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo do número complexo
. O módulo de um número complexo
é dado por:
Aqui,
e
. Então:
Então, o módulo é 5.
Passo 3
Agora, vamos determinar o argumento do número complexo, que é o ângulo
que o número forma com o eixo real positivo no plano complexo. A fórmula para encontrar o argumento é:
Mas precisamos considerar em qual quadrante o número está. Como
está no terceiro quadrante (ambos
e
são negativos), o ângulo total será
.
Então:
Passo 4
Com o módulo e o argumento em mãos, podemos expressar o número complexo na forma exponencial:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Portanto, provamos que
.
Exercícios relacionados
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
vi) 1
vi) 1
Escreva os seguintes números complexos na forma polar:
i)
i)
Para os seguintes pares de funções determine se elas são LI
© e
©
Usando o teorema de Taylor deduza que