Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Se , então . Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para provar que, se e são números reais diferentes de zero, então . Estamos trabalhando com propriedades de operações em números reais, especificamente com inversos multiplicativos. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa o inverso de um número e como as multiplicações funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o inverso multiplicativo de um número (onde ) é o número que, quando multiplicado por , resulta em 1. Em outras palavras, é tal que:
Esse é um conceito fundamental quando lidamos com multiplicação de números reais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao produto . Queremos encontrar o inverso multiplicativo de , ou seja, . Pela definição:
Nosso objetivo é mostrar que isso é igual a .

Passo 4

Vamos multiplicar por :
Sabemos que a multiplicação é comutativa, então podemos rearranjar:
De acordo com a definição do inverso multiplicativo:
Portanto:
Isso confirma que é realmente o inverso multiplicativo de , ou seja:

Resposta

A igualdade significa que o inverso multiplicativo do produto de dois números não nulos e é igual ao produto dos inversos multiplicativos de e individualmente.

Exercícios relacionados

Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. (Lei do Cancelamento da Soma).
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Definindo De , prove que:
I. .
II. .