Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas u_tt = c^2 u_xx, para alguma escolha conveniente de c.
u(x, t) = cos(4t) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função é uma solução da equação das ondas, que é dada por . Para isso, precisamos calcular as derivadas segunda de em relação a e , e ver se encontramos um valor de que faça essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação das ondas. Ela descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. As derivadas e representam, respectivamente, como a função muda ao longo do tempo e do espaço. Nosso objetivo é encontrar um que equilibre essas mudanças para que a equação seja verdadeira.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada de em relação ao tempo :
Derivando uma vez em relação a :
Derivando de novo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação ao espaço :
Derivando uma vez em relação a :
Derivando de novo:

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir na equação das ondas:
Substituindo:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que não sejam zero):
Agora, resolvendo para :

Resposta

A função é solução da equação das ondas quando .

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