Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai verificar se a função é uma solução da equação das ondas, que é dada por
. Para isso, precisamos calcular as derivadas segunda de
em relação a
e
, e ver se encontramos um valor de
que faça essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação das ondas. Ela descreve como as ondas se propagam no espaço e no tempo. As derivadas
e
representam, respectivamente, como a função
muda ao longo do tempo e do espaço. Nosso objetivo é encontrar um
que equilibre essas mudanças para que a equação seja verdadeira.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
:
Derivando uma vez em relação a
:
Derivando de novo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao espaço
:
Derivando uma vez em relação a
:
Derivando de novo:
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos substituir na equação das ondas:
Substituindo:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que não sejam zero):
Agora, resolvendo para
:
Resposta
A função é solução da equação das ondas quando
.