Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é solução da equação das ondas dada por
. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação ao tempo
e ao espaço
, e ver se existe algum valor de
que faça essa igualdade funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação das ondas:
. Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
, e
é a segunda derivada em relação a
. O
é a velocidade da onda.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. A função dada é
. Primeiro, simplificamos:
Agora, calculamos a primeira derivada em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
. Observando a função
, percebemos que não há variável
na expressão. Portanto:
Passo 5
Substituímos
e
na equação das ondas:
Simplificando:
Passo 6
Vamos fatorar a expressão:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, cada fator deve ser igual a zero:
No entanto, essas igualdades só são verdadeiras para valores específicos de
, não para todo
.
Resposta
A função
não é uma solução da equação das ondas
para nenhum valor de
, pois a igualdade não se mantém para todos os valores de
.
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, então
. Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer.
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, para alguma escolha conveniente de
.
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Definindo
De
, prove que:
I. .
II. .
I.
II.