Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas u_tt = c^2 u_xx, para alguma escolha conveniente de c.
u(x, t) = sen(t) * sen(t)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é solução da equação das ondas dada por . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação ao tempo e ao espaço , e ver se existe algum valor de que faça essa igualdade funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação das ondas: . Aqui, é a segunda derivada de em relação a , e é a segunda derivada em relação a . O é a velocidade da onda.

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada de em relação a , ou seja, . A função dada é . Primeiro, simplificamos:
Agora, calculamos a primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de em relação a , ou seja, . Observando a função , percebemos que não há variável na expressão. Portanto:

Passo 5

Substituímos e na equação das ondas:
Simplificando:

Passo 6

Vamos fatorar a expressão:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , cada fator deve ser igual a zero:
No entanto, essas igualdades só são verdadeiras para valores específicos de , não para todo .

Resposta

A função não é uma solução da equação das ondas para nenhum valor de , pois a igualdade não se mantém para todos os valores de .

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