Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Definindo x 2 De x * x, prove que:
I. (x+y) * (x-y) = x^2 - y^2.
II. (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar duas propriedades de operações com números reais usando a definição de . Vamos precisar usar as regras de distribuição da multiplicação sobre a adição e subtração, além de aplicar algumas propriedades básicas da álgebra. Vamos começar com o primeiro item.

Passo 2

Prova de I.
Primeiro, vamos entender o que queremos mostrar. Queremos multiplicar duas expressões binomiais e e verificar se o resultado é igual a .

Passo 3

Vamos usar a distribuição (também conhecida como a propriedade distributiva) para multiplicar os termos. A propriedade distributiva nos diz que:
No nosso caso, , , e . Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo:
Substituindo esses resultados na expressão:

Passo 5

Observamos que e se cancelam:
Isso confirma que:

Passo 6

Prova de II.
Agora, vamos provar que o quadrado da diferença entre e é igual a .

Passo 7

Primeiro, precisamos entender o que significa elevar uma expressão ao quadrado. significa multiplicar por ele mesmo:

Passo 8

Vamos aplicar a propriedade distributiva novamente:

Passo 9

Calculando cada termo:
  1. (dois negativos fazem um positivo)
Substituindo na expressão:

Passo 10

Agora, somamos os termos semelhantes:
Portanto:

Resposta

As duas propriedades foram comprovadas:
I.
II.

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