Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Definindo
De
, prove que:
I.
.
II.
.
I.
II.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para provar duas propriedades de operações com números reais usando a definição de
. Vamos precisar usar as regras de distribuição da multiplicação sobre a adição e subtração, além de aplicar algumas propriedades básicas da álgebra. Vamos começar com o primeiro item.
Passo 2
Prova de I.
Primeiro, vamos entender o que queremos mostrar. Queremos multiplicar duas expressões binomiais
e
e verificar se o resultado é igual a
.
Passo 3
Vamos usar a distribuição (também conhecida como a propriedade distributiva) para multiplicar os termos. A propriedade distributiva nos diz que:
No nosso caso,
,
,
e
. Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada termo:
Substituindo esses resultados na expressão:
Passo 5
Observamos que
e
se cancelam:
Isso confirma que:
Passo 6
Prova de II.
Agora, vamos provar que o quadrado da diferença entre
e
é igual a
.
Passo 7
Primeiro, precisamos entender o que significa elevar uma expressão ao quadrado.
significa multiplicar
por ele mesmo:
Passo 8
Vamos aplicar a propriedade distributiva novamente:
Passo 9
Calculando cada termo:
-
-
-
-
(dois negativos fazem um positivo)
Substituindo na expressão:
Passo 10
Agora, somamos os termos semelhantes:
Portanto:
Resposta
As duas propriedades foram comprovadas:
I.
II.
Exercícios relacionados
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. Se
, então
. Escreva com palavras o que essa igualdade quer dizer.
Seja
o conjunto de estudantes que mora a um quilômetro de distância da faculdade
, o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas. Descreva quais são os estudantes em cada um dos conjuntos abaixo.