Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor
, para alguma escolha conveniente de
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício pra verificar se a função
resolve a equação do calor
para algum valor de
. A equação do calor é um modelo que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um material. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
para ver se conseguimos achar um valor de
que faça a equação valer.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, que é
. Como
, derivando em relação a
temos:
Isso porque a derivada de
em relação a
é
, e
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, que é
. Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
E a segunda derivada:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação do calor
:
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Então,
.
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação do calor
para
.