Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação do calor u_t = k u_xx, para alguma escolha conveniente de k.
u(x, t) = e^t sen(x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício pra verificar se a função resolve a equação do calor para algum valor de . A equação do calor é um modelo que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um material. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e para ver se conseguimos achar um valor de que faça a equação valer.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , que é . Como , derivando em relação a temos:
Isso porque a derivada de em relação a é , e é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , que é . Primeiro, a primeira derivada em relação a :
E a segunda derivada:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos e na equação do calor :
Simplificando:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Então, .

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação do calor para .

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