Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
ou
. Enuncie e prove resultado análogo para o produto de três números reais. Dica: trabalhe com as possibilidades de x e y serem, ou não, nulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um deles é zero. Depois, a gente também precisa fazer o mesmo para o produto de três números. Isso tá ligado ao conteúdo de Álgebra, especificamente às propriedades dos números reais e das operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação e as possibilidades dos números serem zero ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a afirmação inicial: se
, então ou
ou
. Isso significa que, quando multiplicamos dois números e o resultado é zero, pelo menos um dos números multiplicados precisa ser zero.
Passo 3
Vamos usar um raciocínio lógico simples. Imagine que
. Agora, vamos pensar em duas possibilidades para
:
-
: Se é igual a zero, então a afirmação já está provada, porque um dos números é zero. -
: Se não é igual a zero, então para que o produto seja zero, o outro número precisa ser zero. Isso porque qualquer número multiplicado por um número não zero só dá zero se o outro número for zero.
Passo 4
Agora, vamos formular o resultado análogo para o produto de três números reais: se
, então pelo menos um dos números
,
ou
deve ser zero.
Passo 5
Para provar isso, vamos considerar as possíveis situações:
-
: Se é zero, a afirmação está provada. -
: Se não é zero, então para que , o produto precisa ser zero. -
: Se é zero, a afirmação está provada. -
: Se também não é zero, então para que , precisa ser zero.
-
Passo 6
Assim, em qualquer uma das situações, pelo menos um dos números
,
ou
é zero, o que confirma a nossa afirmação.
Resposta
Portanto, provamos que se o produto de dois ou três números reais é zero, pelo menos um dos números envolvidos deve ser zero.
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Suponha que
seja o conjunto dos veteranos de sua faculdade e
, o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de
e
.
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, o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de
e
.
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, o conjunto dos estudantes de matemática discreta de sua faculdade. Expresse cada um dos conjuntos abaixo em termos de
e
.
Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar.
, se