Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. ou . Enuncie e prove resultado análogo para o produto de três números reais. Dica: trabalhe com as possibilidades de x e y serem, ou não, nulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um deles é zero. Depois, a gente também precisa fazer o mesmo para o produto de três números. Isso tá ligado ao conteúdo de Álgebra, especificamente às propriedades dos números reais e das operações básicas como adição, subtração, multiplicação e divisão. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação e as possibilidades dos números serem zero ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a afirmação inicial: se , então ou ou . Isso significa que, quando multiplicamos dois números e o resultado é zero, pelo menos um dos números multiplicados precisa ser zero.

Passo 3

Vamos usar um raciocínio lógico simples. Imagine que . Agora, vamos pensar em duas possibilidades para :
  1. : Se é igual a zero, então a afirmação já está provada, porque um dos números é zero.
  2. : Se não é igual a zero, então para que o produto seja zero, o outro número precisa ser zero. Isso porque qualquer número multiplicado por um número não zero só dá zero se o outro número for zero.

Passo 4

Agora, vamos formular o resultado análogo para o produto de três números reais: se , então pelo menos um dos números , ou deve ser zero.

Passo 5

Para provar isso, vamos considerar as possíveis situações:
  1. : Se é zero, a afirmação está provada.
  2. : Se não é zero, então para que , o produto precisa ser zero.
    • : Se é zero, a afirmação está provada.
    • : Se também não é zero, então para que , precisa ser zero.

Passo 6

Assim, em qualquer uma das situações, pelo menos um dos números , ou é zero, o que confirma a nossa afirmação.

Resposta

Portanto, provamos que se o produto de dois ou três números reais é zero, pelo menos um dos números envolvidos deve ser zero.

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Prove as seguintes propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números reais. Justifique cada igualdade ou implicação que utilizar. , se