Prove que a série dada é convergente e calcule sua soma:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a série
é convergente e também calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, testes de convergência e somas de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Passo 3
Vamos analisar cada série separadamente para verificar se elas convergem.
Passo 4
Analisando
:
Podemos simplificar o termo:
Isso nos permite escrever a série como uma série telescópica. Podemos decompor em frações parciais:
Agora, somando os termos:
Ao somarmos, a maioria dos termos se cancela, e o resultado converge para um valor finito. Portanto, essa série é convergente.
Passo 5
Analisando
:
Essa é uma série geométrica da forma
, onde
e
.
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de
deve ser menor que 1, ou seja,
. Como
, a série converge.
A soma de uma série geométrica é dada por:
Passo 6
Calculando as somas:
- Para a série telescópica:
(Note que, ao infinito,
tende a zero.)
- Para a série geométrica:
Resposta
A série
é convergente e a soma total é
.
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Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(g)
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. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(e)
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Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(f)
(f)
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(j) .
(j)