Prove que a série dada é convergente e calcule sua soma: sumn=1^infty(9n^2+n+56^n).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que a série é convergente e também calcular a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, testes de convergência e somas de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty(9n^2+n+56^n) = sumn=1^infty9n^2+n + sumn=1^infty56^n

Passo 3

Vamos analisar cada série separadamente para verificar se elas convergem.

Passo 4

Analisando 9n^2+n = 9n(n+1) :
Podemos simplificar o termo:
9n(n+1) = 9n - 9n+1
Isso nos permite escrever a série como uma série telescópica. Podemos decompor em frações parciais:
sumn=1^infty (9n - 9n+1)
Agora, somando os termos:
Ao somarmos, a maioria dos termos se cancela, e o resultado converge para um valor finito. Portanto, essa série é convergente.

Passo 5

Analisando S = a1 - r :
Essa é uma série geométrica da forma , onde e .
Para uma série geométrica convergir, o valor absoluto de deve ser menor que 1, ou seja, . Como , a série converge.
A soma de uma série geométrica é dada por:

Passo 6

Calculando as somas:
  1. Para a série telescópica:
sumn=1^infty(9n - 9n+1) = 9 (1 - 0) = 9
(Note que, ao infinito, S = 561 - 16 = 5656 = 1 tende a zero.)
  1. Para a série geométrica:

Resposta

A série é convergente e a soma total é .

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