Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(f) sumn=1^infty 9^n7^n-1

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa série: . A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente, a determinação da convergência ou divergência de uma série. Para isso, vamos usar o teste da série geométrica, que é uma ferramenta bem útil nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
9^n7^n-1 = 9^n7^n cdot 7^-1 = 9^n cdot 7 cdot 17^n = 7 ( 97 )^n
Então, a série original pode ser reescrita como:
7 sumn=1^infty ( 97 )^n

Passo 3

Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Onde:
  • é o primeiro termo da série,
  • é a razão comum entre os termos.
Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 4

Na nossa série, a razão | 97 | = 97 approx 1,2857 é . Vamos calcular o valor absoluto dela:
Como , isso significa que a razão é maior que 1.

Passo 5

De acordo com o critério da série geométrica, se , a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Prove que a série dada é convergente e calcule sua soma: sumn=1^infty(9n^2+n+56^n).
Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(g) cos(n pi)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(j) sumn=1^infty n3^n.
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(m) sumn=1^infty(2 n+3n+1)^n