Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(f)
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa série: . A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, mais especificamente, a determinação da convergência ou divergência de uma série. Para isso, vamos usar o teste da série geométrica, que é uma ferramenta bem útil nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a série original pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, reconhecemos que essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Onde:
é o primeiro termo da série,
é a razão comum entre os termos.
Para que uma série geométrica converja, o valor absoluto da razão precisa ser menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Passo 4
Na nossa série, a razão é . Vamos calcular o valor absoluto dela:
Como , isso significa que a razão é maior que 1.
Passo 5
De acordo com o critério da série geométrica, se , a série não converge, ou seja, ela diverge.