Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0: 11-x=sumn=0^infty x^n

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para provar que a função 11-x pode ser representada como uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em x=0. Isso envolve entender séries de potências e como expandir funções usando a série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função f(x) centrada em x=0 (também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Aqui, f^(n)(0) representa a n-ésima derivada de f avaliada em x=0, e n! é o fatorial de n.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função f(x) = 11-x. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de f(x) e avaliá-las em x=0.

Passo 4

Calculando as derivadas de f(x):
  • Primeira derivada: f'(x) = 1(1-x)^2
  • Segunda derivada: f''(x) = 2(1-x)^3
  • Terceira derivada: f'''(x) = 6(1-x)^4
E, de forma geral, a n-ésima derivada é:
f^(n)(x) = n!(1 - x)^n+1

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas em x=0:
f^(n)(0) = n!(1 - 0)^n+1 = n!

Passo 6

Substituindo na fórmula da série de Taylor:
f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n = sumn=0^infty n!n! x^n = sumn=0^infty x^n

Resposta

Portanto, a série de Taylor da função 11-x centrada em x=0 é:
11-x = sumn=0^infty x^n

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