Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que a função
pode ser representada como uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
. Isso envolve entender séries de potências e como expandir funções usando a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E, de forma geral, a
-ésima derivada é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Resposta
Portanto, a série de Taylor da função
centrada em
é: