Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
:
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para provar que a função
pode ser representada como uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
. Isso envolve entender séries de potências e como expandir funções usando a série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor de uma função
centrada em
(também chamada de série de Maclaurin) é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e avaliá-las em
.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
E, de forma geral, a
-ésima derivada é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas em
:
Passo 6
Substituindo na fórmula da série de Taylor:
Resposta
Portanto, a série de Taylor da função
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Verifique se os vetores
e
são paralelos
e
Verifique em cada caso a seguir, se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
.
e
.
Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A) para todo
.
(B) para todo
e existe
com
.
© para todo
e existe
.
(D) existem e
tais que
.
(E) para todo
.
(F) Não sei
(A)
(B)
©
(D) existem
(E)
(F) Não sei