Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0.
a) sin x=sumn=0^infty x^2 n+1(2 n+1)!(-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para provar uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em , que também é conhecida como série de Maclaurin. O que isso significa? Basicamente, a gente vai representar a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série de Taylor e calcular as derivadas de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor para uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n centrada em (Maclaurin) é dada por:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Para isso, precisamos calcular as derivadas de e avaliá-las em .
Vamos listar as primeiras derivadas:
  1. \
  2. \
  3. \
  4. \
  5. \
E assim por diante. Você percebeu o padrão? As derivadas de ciclam a cada 4 termos.

Passo 4

Observando o padrão das derivadas, vemos que:
  • Apenas as derivadas de ordem ímpar são não nulas.
  • A cada derivada ímpar, alterna entre f^(n)(0) = 1 & se n equiv 1 pmod4 -1 & se n equiv 3 pmod4 e .
Isso significa que para ímpar, temos:
E para par, .

Passo 5

Vamos agora inserir essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Como apenas os termos de ordem ímpar contribuem, podemos reescrever a série considerando sin(x) = sumk=0^infty f^(2k+1)(0)(2k+1)! x^2k+1 , onde sin(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 é inteiro não negativo:
E como vimos, , então substituindo:

Resposta

Portanto, a série infinita para sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! usando a Expansão de Taylor centrada em é:

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