Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício pede para provar uma série infinita usando a Expansão de Taylor centrada em
, que também é conhecida como série de Maclaurin. O que isso significa? Basicamente, a gente vai representar a função
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a série de Taylor e calcular as derivadas de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a série de Taylor. A série de Taylor para uma função
centrada em
(Maclaurin) é dada por:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em
, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Para isso, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
.
Vamos listar as primeiras derivadas:
-
\
-
\
-
\
-
\
-
\
E assim por diante. Você percebeu o padrão? As derivadas de
ciclam a cada 4 termos.
Passo 4
Observando o padrão das derivadas, vemos que:
- Apenas as derivadas de ordem ímpar são não nulas.
- A cada derivada ímpar, alterna entre
e .
Isso significa que para
ímpar, temos:
E para
par,
.
Passo 5
Vamos agora inserir essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
Como apenas os termos de ordem ímpar contribuem, podemos reescrever a série considerando
, onde
é inteiro não negativo:
E como vimos,
, então substituindo:
Resposta
Portanto, a série infinita para
usando a Expansão de Taylor centrada em
é: