Verifique quais dos subconjuntos são linearmente independentes no espaço vetorial real dado:
c) (1,1,0),(0,0,0),(0,1,-1) no espaço R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto de vetores (1,1,0), (0,0,0), (0,1,-1) é linearmente independente no espaço R^3. A matéria envolvida aqui é a Independência Linear em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como aplicar isso aos vetores que nos deram.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
c1 cdot v1 + c2 cdot v2 + c3 cdot v3 = 0
A única solução para os escalares c1, c2, e c3 ser todos zero. Se existir alguma outra combinação onde pelo menos um dos coeficientes não é zero e a combinação ainda resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Temos:
c1 cdot (1,1,0) + c2 cdot (0,0,0) + c3 cdot (0,1,-1) = (0,0,0)
Isso dá as seguintes equações para cada componente:
  1. Para a primeira componente: c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 0 = 0 Rightarrow c1 = 0
  2. Para a segunda componente: c1 cdot 1 + c2 cdot 0 + c3 cdot 1 = 0 Rightarrow c1 + c3 = 0
  3. Para a terceira componente: c1 cdot 0 + c2 cdot 0 + c3 cdot (-1) = 0 Rightarrow -c3 = 0 Rightarrow c3 = 0

Passo 4

Já que c1 = 0 e c3 = 0, da segunda equação, 0 + 0 = 0, o que é verdadeiro para qualquer valor de c2. Isso significa que c2 pode ser qualquer número real, não necessariamente zero. Portanto, existe uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que resulta no vetor zero.

Resposta

O conjunto (1,1,0), (0,0,0), (0,1,-1) é linearmente dependente no espaço R^3.

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