Verifique quais dos subconjuntos são linearmente independentes no espaço vetorial real dado:
c)
no espaço
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto de vetores
é linearmente independente no espaço
. A matéria envolvida aqui é a Independência Linear em Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente e como aplicar isso aos vetores que nos deram.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é independência linear. Um conjunto de vetores é chamado de linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se tivermos:
A única solução para os escalares
,
, e
ser todos zero. Se existir alguma outra combinação onde pelo menos um dos coeficientes não é zero e a combinação ainda resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores. Temos:
Isso dá as seguintes equações para cada componente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Passo 4
Já que
e
, da segunda equação,
, o que é verdadeiro para qualquer valor de
. Isso significa que
pode ser qualquer número real, não necessariamente zero. Portanto, existe uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que resulta no vetor zero.
Resposta
O conjunto
é linearmente dependente no espaço
.