Seja um vetor qualquer . Sendo um escalar dado pelo elemento de matriz , onde, . Mostre que I=Ix x alpha^2+Iy y beta^2+Iz z gamma^2+2 Ix y alpha beta+2 Ix z alpha gamma+2 Iy z beta gamma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, dado um vetor alpha beta gamma e uma matriz , o escalar pode ser expandido de uma forma específica. Vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e produto interno de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa alpha & beta & gamma . Aqui, é o vetor transposto de , ou seja, . A expressão representa o produto matricial entre , e .
Passo 3
Vamos escrever a matriz I = Ixx & Ixy & Ixz Iyx & Iyy & Iyz Izx & Izy & Izz , lang<= n| = alpha & beta & gamma , |nrang<= = alpha beta gamma e os vetores envolvidos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar a matriz I |nrang<= = Ixxalpha + Ixybeta + Ixzgamma Iyxalpha + Iyybeta + Iyzgamma Izxalpha + Izybeta + Izzgamma pelo vetor :
Passo 5
Em seguida, multiplicamos o vetor transposto lang<= n| I |n rang<= = alpha & beta & gamma Ixxalpha + Ixybeta + Ixzgamma Iyxalpha + Iyybeta + Iyzgamma Izxalpha + Izybeta + Izzgamma pelo resultado que obtivemos:
Passo 6
Fazendo essa multiplicação, somamos os produtos correspondentes:
Considerando que a matriz I = Ixxalpha^2 + 2Ixyalphabeta + 2Ixzalphagamma + Iyybeta^2 + 2Iyzbetagamma + Izzgamma^2 é simétrica, ou seja, , e , podemos simplificar os termos: