Seja um vetor qualquer |nrang<==(lllalpha & beta & gamma)^T. Sendo I um escalar dado pelo elemento de matriz I=lang<= n| I|nrang<=, onde, I=(cccIx x & Ix y & Ix z Iy x & Iy y & Iy z Iz x & Iz y & Iz z). Mostre que I=Ix x alpha^2+Iy y beta^2+Iz z gamma^2+ 2 Ix y alpha beta+2 Ix z alpha gamma+2 Iy z beta gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que, dado um vetor alpha beta gamma e uma matriz , o escalar pode ser expandido de uma forma específica. Vamos precisar usar conceitos de multiplicação de matrizes e produto interno de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa alpha & beta & gamma . Aqui, é o vetor transposto de , ou seja, . A expressão representa o produto matricial entre , e .

Passo 3

Vamos escrever a matriz I = Ixx & Ixy & Ixz Iyx & Iyy & Iyz Izx & Izy & Izz , lang<= n| = alpha & beta & gamma , |nrang<= = alpha beta gamma e os vetores envolvidos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a matriz I |nrang<= = Ixxalpha + Ixybeta + Ixzgamma Iyxalpha + Iyybeta + Iyzgamma Izxalpha + Izybeta + Izzgamma pelo vetor :

Passo 5

Em seguida, multiplicamos o vetor transposto lang<= n| I |n rang<= = alpha & beta & gamma Ixxalpha + Ixybeta + Ixzgamma Iyxalpha + Iyybeta + Iyzgamma Izxalpha + Izybeta + Izzgamma pelo resultado que obtivemos:

Passo 6

Fazendo essa multiplicação, somamos os produtos correspondentes:
I = alpha(Ixxalpha + Ixybeta + Ixzgamma) + beta(Iyxalpha + Iyybeta + Iyzgamma) + gamma(Izxalpha + Izybeta + Izzgamma)

Passo 7

Agora, vamos distribuir os termos:
I = Ixxalpha^2 + Ixyalphabeta + Ixzalphagamma + Iyxbetaalpha + Iyybeta^2 + Iyzbetagamma + Izxgammaalpha + Izygammabeta + Izzgamma^2

Passo 8

Considerando que a matriz I = Ixxalpha^2 + 2Ixyalphabeta + 2Ixzalphagamma + Iyybeta^2 + 2Iyzbetagamma + Izzgamma^2 é simétrica, ou seja, , e , podemos simplificar os termos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
I = Ixx alpha^2 + Iyy beta^2 + Izz gamma^2 + 2 Ixy alpha beta + 2 Ixz alpha gamma + 2 Iyz beta gamma

Exercícios relacionados