Prove que se sum an converge, então lim an=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que se a soma infinita sum an converge, então o limite de an quando n tende ao infinito é zero. Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série sum an convergir. Dizemos que a série converge se a sequência das somas parciais SN = a1 + a2 + dots + aN tende a um número finito quando N vai para o infinito. Ou seja, limN to infty SN = S, onde S é a soma da série.

Passo 3

Agora, vamos considerar a diferença entre duas somas parciais consecutivas. Isso significa que:
aN+1 = SN+1 - SN
Se a série converge, sabemos que tanto SN+1 quanto SN tendem para S quando N vai para o infinito.

Passo 4

Vamos aplicar o limite na expressão que encontramos:
limN to infty aN+1 = limN to infty (SN+1 - SN)
Como SN+1 e SN ambos tendem para S, a diferença entre eles deve tender para zero:
limN to infty aN+1 = S - S = 0

Passo 5

Finalmente, substituindo N+1 por n, obtemos:
limn to infty an = 0
Isso mostra que, se a série sum an converge, então o limite de an quando n tende ao infinito é zero.

Resposta

Portanto, provamos que se a série sum an converge, então limn to infty an = 0.

Exercícios relacionados