Prove que se
converge, então
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para provar que se a soma infinita
converge, então o limite de
quando
tende ao infinito é zero. Vamos usar conceitos de séries infinitas e limites para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série
convergir. Dizemos que a série converge se a sequência das somas parciais
tende a um número finito quando
vai para o infinito. Ou seja,
, onde
é a soma da série.
Passo 3
Agora, vamos considerar a diferença entre duas somas parciais consecutivas. Isso significa que:
Se a série converge, sabemos que tanto
quanto
tendem para
quando
vai para o infinito.
Passo 4
Vamos aplicar o limite na expressão que encontramos:
Como
e
ambos tendem para
, a diferença entre eles deve tender para zero:
Passo 5
Finalmente, substituindo
por
, obtemos:
Isso mostra que, se a série
converge, então o limite de
quando
tende ao infinito é zero.
Resposta
Portanto, provamos que se a série
converge, então
.