Sendo
um campo escalar e
um campo vetorial em
, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, prove que:
(12.4)
, onde
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem um campo escalar
e um campo vetorial
em
, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. O exercício pede pra provar quatro identidades envolvendo divergente, rotacional e o laplaciano. Vamos precisar entender o que cada um desses operadores faz e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos provar
.
Aqui,
é o gradiente de
, que é um vetor com as derivadas parciais de
em cada direção:
.
Passo 3
O divergente de um vetor
é dado por
.
Aplicando isso a
:
Isso é exatamente a definição de
, o laplaciano de
.
Passo 4
Agora, vamos provar
.
O rotacional de
é:
Passo 5
Calculando o divergente desse rotacional:
Pelas propriedades das derivadas parciais, todos esses termos se cancelam, resultando em zero.
Passo 6
Vamos provar
.
O gradiente de
é
.
O rotacional desse gradiente é:
Como as derivadas parciais são contínuas e as segundas derivadas são iguais em ordem diferente (
, etc.), cada componente do rotacional é zero.
Passo 7
Por último, vamos provar
.
Começamos calculando o rotacional do rotacional de
:
Aqui,
, onde cada componente é o laplaciano aplicado a
,
e
respectivamente.
Resposta
Assim, provamos que: