Sendo f um campo escalar e F um campo vetorial em R^3, com derivadas parciais de segunda ordem contínuas, prove que:
(12.1) div(nabla f)=De
(12.4) rot(rot(F))=nabla(div(F))-De, onde De para F=(L, M, N) e
De

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente tem um campo escalar e um campo vetorial em , com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. O exercício pede pra provar quatro identidades envolvendo divergente, rotacional e o laplaciano. Vamos precisar entender o que cada um desses operadores faz e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos provar .
Aqui, é o gradiente de , que é um vetor com as derivadas parciais de em cada direção: .

Passo 3

O divergente de um vetor div(nabla f) = partialpartial x( partial fpartial x ) + partialpartial y( partial fpartial y ) + partialpartial z( partial fpartial z ) é dado por .
Aplicando isso a :
Isso é exatamente a definição de , o laplaciano de .

Passo 4

Agora, vamos provar rot(F) = ( partial Npartial y - partial Mpartial z, partial Lpartial z - partial Npartial x, partial Mpartial x - partial Lpartial y ) .
O rotacional de é:

Passo 5

Calculando o divergente desse rotacional:
div(rot(F)) = partialpartial x( partial Npartial y - partial Mpartial z ) + partialpartial y( partial Lpartial z - partial Npartial x ) + partialpartial z( partial Mpartial x - partial Lpartial y )
Pelas propriedades das derivadas parciais, todos esses termos se cancelam, resultando em zero.

Passo 6

Vamos provar rot(nabla f) = ( partialpartial y( partial fpartial z ) - partialpartial z( partial fpartial y ), partialpartial z( partial fpartial x ) - partialpartial x( partial fpartial z ), partialpartial x( partial fpartial y ) - partialpartial y( partial fpartial x ) ) .
O gradiente de é .
O rotacional desse gradiente é:
Como as derivadas parciais são contínuas e as segundas derivadas são iguais em ordem diferente ( , etc.), cada componente do rotacional é zero.

Passo 7

Por último, vamos provar rot(rot(F)) = nabla(div(F)) - De.
Começamos calculando o rotacional do rotacional de :
Aqui, , onde cada componente é o laplaciano aplicado a , e respectivamente.

Resposta

Assim, provamos que:
div(nabla f) = De

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