(2,0 pts) Seja
uma função escalar e
um campo vetorial em
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma relação envolvendo divergência de um campo vetorial multiplicado por uma função escalar. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de divergência e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo vetorial e aplicar regras de derivação de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. Para um campo vetorial
, a divergência é dada por:
Passo 3
Agora, queremos calcular a divergência do produto de uma função escalar
pelo campo vetorial
, ou seja,
. Primeiro, vamos multiplicar
por cada componente de
:
Passo 4
Aplicando a definição de divergência a
, temos:
Passo 5
Agora, usamos a regra do produto para derivadas parciais. Por exemplo, para
:
Fazendo isso para todas as componentes:
Passo 6
Agora, vamos organizar os termos:
Passo 7
Observamos que:
e
Resposta
Portanto,