(2,0 pts) Seja f: R^3 -> R uma função escalar e F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) um campo vetorial em R^3. Mostre que
div(f F) = f div F + F . grad f

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar uma relação envolvendo divergência de um campo vetorial multiplicado por uma função escalar. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Vetorial, especificamente o conceito de divergência e derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a divergência de um campo vetorial e aplicar regras de derivação de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é divergência. Para um campo vetorial , a divergência é dada por:

Passo 3

Agora, queremos calcular a divergência do produto de uma função escalar pelo campo vetorial , ou seja, . Primeiro, vamos multiplicar por cada componente de :

Passo 4

Aplicando a definição de divergência a , temos:

Passo 5

Agora, usamos a regra do produto para derivadas parciais. Por exemplo, para :
Fazendo isso para todas as componentes:

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos:

Passo 7

Observamos que:
e

Resposta

Portanto,

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