Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma
ou
com
. Os números da forma
são chamados pares e os da forma
são chamados ímpares. Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como todo número inteiro pode ser escrito como
ou
. A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a divisão euclidiana. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a divisão funciona quando dividimos um número inteiro por 2.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divisão euclidiana. Ela diz que, para qualquer número inteiro
e um divisor
diferente de zero, existem inteiros
(quociente) e
(resto) tais que:
onde
.
Passo 3
No nosso caso, queremos dividir qualquer inteiro
por 2. Aplicando a divisão euclidiana:
E como o resto
tem que ser menor que 2, as possibilidades são
ou
.
Passo 4
Se o resto
, então a expressão fica:
Isso mostra que
é múltiplo de 2, ou seja,
é um número par.
Passo 5
Se o resto
, então a expressão fica:
Isso indica que
é um número ímpar, já que é 1 a mais que múltiplo de 2.
Resposta
Então, usando a divisão euclidiana, mostramos que todo número inteiro
pode ser escrito como
(par) ou
(ímpar), onde
é um inteiro. Portanto, todo número inteiro é da forma
ou
com
.
Exercícios relacionados
c) Quantos inteiros divisíveis por 7 existem entre 112 e 1328 ?
Prove que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro.
A soma dos quocientes na divisão euclidiana de dois números D e
por um número
, é sempre igual ao quociente da divisão de
por d ? Se não for igual de quanto difere?
Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3