Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma ou com . Os números da forma são chamados pares e os da forma são chamados ímpares. Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como todo número inteiro pode ser escrito como ou . A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a divisão euclidiana. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a divisão funciona quando dividimos um número inteiro por 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divisão euclidiana. Ela diz que, para qualquer número inteiro e um divisor diferente de zero, existem inteiros (quociente) e (resto) tais que:
onde .

Passo 3

No nosso caso, queremos dividir qualquer inteiro por 2. Aplicando a divisão euclidiana:
E como o resto tem que ser menor que 2, as possibilidades são ou .

Passo 4

Se o resto , então a expressão fica:
Isso mostra que é múltiplo de 2, ou seja, é um número par.

Passo 5

Se o resto , então a expressão fica:
Isso indica que é um número ímpar, já que é 1 a mais que múltiplo de 2.

Resposta

Então, usando a divisão euclidiana, mostramos que todo número inteiro pode ser escrito como (par) ou (ímpar), onde é um inteiro. Portanto, todo número inteiro é da forma ou com .

Exercícios relacionados

c) Quantos inteiros divisíveis por 7 existem entre 112 e 1328 ?
Prove que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro.
A soma dos quocientes na divisão euclidiana de dois números D e por um número , é sempre igual ao quociente da divisão de por d ? Se não for igual de quanto difere?
Seja a um número inteiro qualquer. Mostre que exatamente um número de cada terna dada é divisível por 3