Usando a divisão euclidiana, mostre que todo número inteiro é da forma 2n ou 2n + 1 com n em Z. Os números da forma 2n são chamados pares e os da forma 2n + 1 são chamados ímpares. Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como todo número inteiro pode ser escrito como ou . A matéria aqui é Álgebra, mais especificamente a divisão euclidiana. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como a divisão funciona quando dividimos um número inteiro por 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divisão euclidiana. Ela diz que, para qualquer número inteiro a e um divisor b diferente de zero, existem inteiros q (quociente) e r (resto) tais que:
onde .

Passo 3

No nosso caso, queremos dividir qualquer inteiro n por 2. Aplicando a divisão euclidiana:
E como o resto r tem que ser menor que 2, as possibilidades são ou .

Passo 4

Se o resto , então a expressão fica:
Isso mostra que n é múltiplo de 2, ou seja, n é um número par.

Passo 5

Se o resto , então a expressão fica:
Isso indica que n é um número ímpar, já que é 1 a mais que múltiplo de 2.

Resposta

Então, usando a divisão euclidiana, mostramos que todo número inteiro n pode ser escrito como (par) ou (ímpar), onde q é um inteiro. Portanto, todo número inteiro é da forma ou com n em Z.

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