Sejam os vetores v1=(1,2,3), v2=(0,1,2), v3=(0,0,1) e v4=(18,5,0). O conjunto v1, v2, v3, v4 é uma base de R^3 ?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Temos quatro vetores em v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2), v3 = (0, 0, 1), v4 = (18, 5, 0) :
A pergunta é: O conjunto é uma base de ?
Para responder, precisamos entender o que é uma base. Uma base de é um conjunto de três vetores linearmente independentes que geram todo o espaço . Além disso, como tem dimensão 3, não é possível ter mais de três vetores em uma base, pois isso levaria a redundância.
Vamos precisar verificar:
  1. Número de vetores: Precisamos de exatamente três vetores.
  2. Independência linear: Os vetores devem ser linearmente independentes.
  3. Geração do espaço: Os vetores devem conseguir representar qualquer vetor em .

Passo 2

Primeiro, observamos que o conjunto dado possui quatro vetores. Como mencionamos, uma base de só pode ter três vetores. Ter mais vetores do que a dimensão do espaço geralmente indica que os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos verificar a independência linear dos vetores Matriz = 1 & 0 & 0 & 18 2 & 1 & 0 & 5 3 & 2 & 1 & 0 . Para isso, montamos a matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante.
No entanto, para verificar a independência linear, precisamos que o número de vetores seja igual à dimensão do espaço. Como temos mais vetores (4) do que a dimensão (3), já sabemos que são linearmente dependentes.

Passo 4

Como os vetores são linearmente dependentes, isso significa que não é possível que os quatro vetores formem uma base para , pois uma base requer exatamente três vetores independentes.

Resposta

Não, o conjunto não é uma base de .

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