Vamos analisar o enunciado: Temos quatro vetores em :
A pergunta é: O conjunto é uma base de ?
Para responder, precisamos entender o que é uma base. Uma base de é um conjunto de três vetores linearmente independentes que geram todo o espaço . Além disso, como tem dimensão 3, não é possível ter mais de três vetores em uma base, pois isso levaria a redundância.
Vamos precisar verificar:
Número de vetores: Precisamos de exatamente três vetores.
Independência linear: Os vetores devem ser linearmente independentes.
Geração do espaço: Os vetores devem conseguir representar qualquer vetor em .
Passo 2
Primeiro, observamos que o conjunto dado possui quatro vetores. Como mencionamos, uma base de só pode ter três vetores. Ter mais vetores do que a dimensão do espaço geralmente indica que os vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos verificar a independência linear dos vetores . Para isso, montamos a matriz com esses vetores como colunas e calculamos seu determinante.
No entanto, para verificar a independência linear, precisamos que o número de vetores seja igual à dimensão do espaço. Como temos mais vetores (4) do que a dimensão (3), já sabemos que são linearmente dependentes.
Passo 4
Como os vetores são linearmente dependentes, isso significa que não é possível que os quatro vetores formem uma base para , pois uma base requer exatamente três vetores independentes.