Prove que:
a)
, se p é primo
a)
Passo 1
Beleza, vamos provar que para qualquer número primo
, a função de Euler
vale
. A matéria que vamos usar aqui é a Função Totiente de Euler, que conta quantos números menores que
são coprimos com
. Para resolver, precisamos entender o que é um número primo e o que significa ser coprimo.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um número primo
é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 5 é primo porque só pode ser dividido por 1 e 5.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa dois números serem coprimos. Dois números são coprimos se o único divisor comum entre eles é 1. Ou seja, eles não compartilham nenhum outro divisor além de 1.
Passo 4
Como
é primo, qualquer número menor que
(ou seja, de 1 até
) não vai ter
como divisor, pois
só é divisível por 1 e por ele mesmo. Portanto, todos esses números são coprimos com
.
Passo 5
Então, para contar quantos números são coprimos com
, basta contar todos os números de 1 até
. Isso dá exatamente
números.
Passo 6
Assim, a função totiente de Euler
, que conta esses números coprimos, vale
quando
é primo.
Resposta
Para qualquer número primo
, temos
.