Prove que:
a) varphi(p)=p-1, se p é primo

Passo 1

Beleza, vamos provar que para qualquer número primo , a função de Euler vale . A matéria que vamos usar aqui é a Função Totiente de Euler, que conta quantos números menores que são coprimos com . Para resolver, precisamos entender o que é um número primo e o que significa ser coprimo.

Passo 2

Primeiro, lembremos que um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 5 é primo porque só pode ser dividido por 1 e 5.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa dois números serem coprimos. Dois números são coprimos se o único divisor comum entre eles é 1. Ou seja, eles não compartilham nenhum outro divisor além de 1.

Passo 4

Como é primo, qualquer número menor que (ou seja, de 1 até ) não vai ter como divisor, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Portanto, todos esses números são coprimos com .

Passo 5

Então, para contar quantos números são coprimos com , basta contar todos os números de 1 até . Isso dá exatamente números.

Passo 6

Assim, a função totiente de Euler , que conta esses números coprimos, vale quando é primo.

Resposta

Para qualquer número primo , temos .

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