Prove que todo intervalo não degenerado da reta é de medida não nula.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para provar que qualquer intervalo não degenerado na reta real tem medida não nula. Isso está dentro da área de teoria da medida, que estuda como “medir” conjuntos, tipo comprimento, área, volume, etc. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um intervalo não degenerado e como calcular sua medida usando a definição básica de comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é um intervalo não degenerado. Um intervalo na reta real é uma sequência contínua de números entre dois pontos, digamos
e
, onde
. Ele é chamado de não degenerado porque
e
são diferentes, ou seja, o intervalo não é apenas um ponto único.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre medida. Na reta real, a medida de um intervalo
é simplesmente o comprimento desse intervalo, que é calculado como
. Isso é baseado na definição mais básica de medida para conjuntos na linha real.
Passo 4
Para provar que a medida é não nula, precisamos mostrar que
é maior que zero. Como estamos considerando um intervalo não degenerado, sabemos que
. Portanto, ao subtrair
de
, o resultado
será um número positivo.
Passo 5
Como
, isso significa que o comprimento do intervalo
é maior que zero. Logo, a medida desse intervalo não é nula.
Resposta
Portanto, todo intervalo não degenerado na reta real tem medida não nula, já que seu comprimento
é sempre maior que zero.