Seja
um conjunto de medida nula. Prove que todo subconjunto de
é de medida nula.
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é um conjunto
dentro dos números reais que tem medida nula. Medida nula basicamente significa que ele “não ocupa espaço” na reta real. A gente precisa mostrar que qualquer subconjunto de
também não ocupa espaço, ou seja, também tem medida nula. Para isso, vamos usar a definição de medida nula e ver como ela se aplica a subconjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de medida nula. Um conjunto
tem medida nula se, para qualquer número positivo pequenininho
, dá para cobrir todo o
com intervalos abertos cuja soma dos comprimentos é menor que
. É tipo dizer que, não importa o quão pequeno você queira, dá pra “encaixar” o conjunto em um espaço tão minúsculo quanto quiser.
Passo 3
Agora, vamos pensar em um subconjunto
de
. Já que
tem medida nula, para qualquer
, a gente pode cobrir
com uma sequência de intervalos cuja soma dos comprimentos é menor que
. Mas como
é parte de
, esses mesmos intervalos que cobrem
também cobrem
. Ou seja, a cobertura que funciona para
funciona perfeitamente para qualquer pedaço dele.
Passo 4
Então, seguindo a definição de medida nula, como conseguimos cobrir
com intervalos cuja soma dos comprimentos é menor que qualquer
que a gente escolher, isso significa que
também tem medida nula. Não importa o quão pequeno seja
, ele não vai ocupar espaço na reta real.
Resposta
Todo subconjunto de
é de medida nula.