Seja X ⊆ R um conjunto de medida nula. Prove que todo subconjunto de X é de medida nula.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um conjunto dentro dos números reais que tem medida nula. Medida nula basicamente significa que ele “não ocupa espaço” na reta real. A gente precisa mostrar que qualquer subconjunto de também não ocupa espaço, ou seja, também tem medida nula. Para isso, vamos usar a definição de medida nula e ver como ela se aplica a subconjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de medida nula. Um conjunto tem medida nula se, para qualquer número positivo pequenininho , dá para cobrir todo o com intervalos abertos cuja soma dos comprimentos é menor que . É tipo dizer que, não importa o quão pequeno você queira, dá pra “encaixar” o conjunto em um espaço tão minúsculo quanto quiser.

Passo 3

Agora, vamos pensar em um subconjunto de . Já que tem medida nula, para qualquer , a gente pode cobrir com uma sequência de intervalos cuja soma dos comprimentos é menor que . Mas como é parte de , esses mesmos intervalos que cobrem também cobrem . Ou seja, a cobertura que funciona para funciona perfeitamente para qualquer pedaço dele.

Passo 4

Então, seguindo a definição de medida nula, como conseguimos cobrir com intervalos cuja soma dos comprimentos é menor que qualquer que a gente escolher, isso significa que também tem medida nula. Não importa o quão pequeno seja , ele não vai ocupar espaço na reta real.

Resposta

Todo subconjunto de é de medida nula.

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