Seja
uma função contínua e seja
uma função crescente.
(b) O que acontece se acrescentarmos a hipótese
?
(b) O que acontece se acrescentarmos a hipótese
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções contínuas no intervalo
:
e
. Sabemos que
é uma função crescente. Agora, na parte (b), queremos ver o que acontece se a gente acrescentar que
para todo
em
. Vamos precisar entender como essas propriedades influenciam o comportamento das funções e o que isso implica matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser crescente. Uma função
é crescente no intervalo
se, para todo
com
, temos
. Isso significa que conforme
aumenta,
também aumenta ou permanece constante.
Passo 3
Agora, adicionando a condição
para todo
, estamos dizendo que a função
nunca toma valores negativos nesse intervalo. Ou seja, o valor mínimo de
é zero.
Passo 4
Vamos pensar nas implicações dessa nova condição. Como
é crescente e nunca negativa, isso significa que
e, já que é crescente, para todo
em
,
será sempre maior ou igual a
. Portanto, a função está “subindo” ou se mantendo, mas sem jamais descer abaixo de zero.
Passo 5
Além disso, se estivermos lidando com integrais ou com propriedades relacionadas à monotonidade e sinais das funções, a condição
pode simplificar análises. Por exemplo, se quisermos integrar
em relação a
, saber que
é não negativa pode nos ajudar a determinar o sinal da integral ou garantir certas propriedades de convergência.
Passo 6
Resumindo, ao acrescentar a hipótese
, estamos restringindo o comportamento de
de uma maneira que pode facilitar ou garantir determinadas propriedades matemáticas em problemas relacionados, como integrais ou estudos de limites.
Resposta
Ao acrescentarmos a hipótese
para todo
, garantimos que a função
é sempre não negativa no intervalo considerado, além de ser crescente. Isso implica que
não apenas aumenta ou permanece constante, mas também nunca assume valores negativos, o que pode simplificar análises subsequentes envolvendo
, como integrais ou outras propriedades relacionadas ao comportamento da função no intervalo
.