Seja g:[a, b] -> R uma função contínua e seja f: [a, b] -> R uma função crescente.
(b) O que acontece se acrescentarmos a hipótese f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas funções contínuas no intervalo : e . Sabemos que é uma função crescente. Agora, na parte (b), queremos ver o que acontece se a gente acrescentar que para todo em . Vamos precisar entender como essas propriedades influenciam o comportamento das funções e o que isso implica matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser crescente. Uma função é crescente no intervalo se, para todo com , temos . Isso significa que conforme aumenta, também aumenta ou permanece constante.

Passo 3

Agora, adicionando a condição para todo , estamos dizendo que a função nunca toma valores negativos nesse intervalo. Ou seja, o valor mínimo de é zero.

Passo 4

Vamos pensar nas implicações dessa nova condição. Como é crescente e nunca negativa, isso significa que e, já que é crescente, para todo em , será sempre maior ou igual a . Portanto, a função está “subindo” ou se mantendo, mas sem jamais descer abaixo de zero.

Passo 5

Além disso, se estivermos lidando com integrais ou com propriedades relacionadas à monotonidade e sinais das funções, a condição pode simplificar análises. Por exemplo, se quisermos integrar em relação a , saber que é não negativa pode nos ajudar a determinar o sinal da integral ou garantir certas propriedades de convergência.

Passo 6

Resumindo, ao acrescentar a hipótese , estamos restringindo o comportamento de de uma maneira que pode facilitar ou garantir determinadas propriedades matemáticas em problemas relacionados, como integrais ou estudos de limites.

Resposta

Ao acrescentarmos a hipótese para todo , garantimos que a função é sempre não negativa no intervalo considerado, além de ser crescente. Isso implica que não apenas aumenta ou permanece constante, mas também nunca assume valores negativos, o que pode simplificar análises subsequentes envolvendo , como integrais ou outras propriedades relacionadas ao comportamento da função no intervalo .

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