Prove que todo trapézio inscrito em um círculo é isósceles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que todo trapézio inscrito em um círculo é isósceles. Então, estamos lidando com geometria, mais especificamente com propriedades de figuras geométricas como trapézios e círculos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um trapézio isósceles, o que significa uma figura ser inscrita em um círculo (ou seja, ser cíclica) e algumas propriedades básicas dos ângulos em círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um trapézio isósceles. Um trapézio é isósceles quando seus lados não paralelos, chamados de lados não bases ou lados laterais, são de mesma medida. Além disso, os ângulos da base também são iguais. Isso dá ao trapézio uma aparência simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa um trapézio estar inscrito em um círculo, ou seja, ser cíclico. Uma figura é cíclica se todos os seus vértices estão sobre a circunferência de um círculo. Para quadriláteros (figuras de quatro lados), uma propriedade importante é que em qualquer quadrilátero cíclico, a soma dos ângulos opostos é igual a 180°.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade ao nosso trapézio inscrito no círculo. Como um trapézio tem dois pares de ângulos:
- Os ângulos da base maior (vamos chamar de Ângulo A e Ângulo B)
- Os ângulos da base menor (Ângulo C e Ângulo D)
Sabemos que, em um trapézio, os ângulos consecutivos nas bases são suplementares, ou seja, somam 180°, porque as bases são paralelas.
Passo 5
Como o trapézio está inscrito em um círculo (é cíclico), a soma dos ângulos opostos também é 180°. Ou seja:
- Ângulo A + Ângulo C = 180°
- Ângulo B + Ângulo D = 180°
Mas no trapézio, temos que Ângulo A + Ângulo B = 180° (porque são consecutivos na base maior) e Ângulo C + Ângulo D = 180° (porque são consecutivos na base menor).
Passo 6
Agora, comparando as duas somas:
- De ser cíclico: Ângulo A + Ângulo C = 180°
- De ser trapézio: Ângulo A + Ângulo B = 180°
Igualando as duas expressões:
Ângulo A + Ângulo C = Ângulo A + Ângulo B
Simplificando, cancelamos o Ângulo A dos dois lados:
Ângulo C = Ângulo B
Passo 7
O mesmo raciocínio vale para os outros ângulos:
Ângulo B + Ângulo D = 180° (cíclico)
Ângulo C + Ângulo D = 180° (trapézio)
Ângulo C + Ângulo D = 180° (trapézio)
Igualando:
Ângulo B + Ângulo D = Ângulo C + Ângulo D
Cancelando o Ângulo D:
Ângulo B = Ângulo C
Passo 8
Então, descobrimos que Ângulo B = Ângulo C e Ângulo D = Ângulo A. Isso significa que os ângulos da base maior são iguais aos ângulos da base menor, o que só é possível se os lados não bases forem de mesma medida. Portanto, o trapézio é isósceles.
Resposta
Todo trapézio inscrito em um círculo tem os lados não paralelos iguais, ou seja, é isósceles.