Seja
um vetor ortogonal a
e
. Sabendo-se que
e
formam um ângulo de
e que
,
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores aqui:
é ortogonal a
e
, ou seja,
é perpendicular tanto a
quanto a
. Além disso, sabemos que o ângulo entre
e
é de
, e as magnitudes desses vetores são:
O que precisamos encontrar é o valor de
, que é o produto escalar de
com o produto vetorial de
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto escalar e propriedades de vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular tanto a
quanto a
. Já que
é ortogonal a
e
, isso significa que
está na mesma direção de
ou na direção oposta.
Passo 3
O produto escalar
pode ser interpretado como o produto das magnitudes de
e
multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Mas como
é paralelo a
, o cosseno desse ângulo é
. Assim,
.
Passo 4
Vamos calcular
. A magnitude do produto vetorial é dada por:
Onde
é o ângulo entre
e
. Sabemos que
,
e
. Então:
Passo 5
Agora, voltando ao produto escalar:
Para determinar o sinal, precisamos considerar a orientação dos vetores. Porém, como o enunciado não especifica a orientação, podemos assumir que o valor absoluto é 27.
Resposta
O valor de
é 27.