Seja u um vetor ortogonal a v e w. Sabendo-se que v e w formam um ângulo de 30^circ e que |u|=6, |v|=3 e |w|=3, calcule lang<= u, v times wrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores aqui: é ortogonal a e , ou seja, é perpendicular tanto a quanto a . Além disso, sabemos que o ângulo entre e é de , e as magnitudes desses vetores são:
O que precisamos encontrar é o valor de , que é o produto escalar de com o produto vetorial de e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto vetorial, produto escalar e propriedades de vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular tanto a quanto a . Já que é ortogonal a e , isso significa que está na mesma direção de ou na direção oposta.

Passo 3

O produto escalar pode ser interpretado como o produto das magnitudes de e multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles. Mas como é paralelo a , o cosseno desse ângulo é . Assim, .

Passo 4

Vamos calcular |v times w| = |v| cdot |w| cdot sin(theta) . A magnitude do produto vetorial é dada por:
|v times w| = 3 cdot 3 cdot sin(30^circ) = 9 cdot 12 = 4,5
Onde é o ângulo entre e . Sabemos que , e . Então:

Passo 5

Agora, voltando ao produto escalar:
lang<= u, v times w rang<= = pm |u| cdot |v times w| = pm 6 cdot 4,5 = pm 27
Para determinar o sinal, precisamos considerar a orientação dos vetores. Porém, como o enunciado não especifica a orientação, podemos assumir que o valor absoluto é 27.

Resposta

O valor de é 27.

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