Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2,2) :
S=[ll a & b c & d ] ; c=a+b, d=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço de , que é o conjunto de todas as matrizes . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer. Basicamente, um subespaço precisa conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a matriz zero está em 0 & 0 0 & 0 . A matriz zero em é:
No conjunto , temos que e . Se escolhermos , , então e . Assim, a matriz zero está em . Tá tranquilo com esse primeiro passo!

Passo 3

Agora, vamos ver se A = a1 & b1 c1 & d1 onde c1 = a1 + b1, , d1 = 0 é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer em B = a2 & b2 c2 & d2 onde c2 = a2 + b2, , d2 = 0 e somarmos elas, o resultado também precisa estar em A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 + b1) + (a2 + b2) & 0 + 0 .
Vamos considerar duas matrizes em A + B = a1 + a2 & b1 + b2 (a1 + a2) + (b1 + b2) & 0 :
Somando e :
Simplificando:
Vemos que e , então também está em . Então, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos checar se A = a & b c & d onde c = a + b, , d = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos uma matriz qualquer em kA = k a & k b k c & k d = k a & k b k (a + b) & 0 e multiplicarmos por um número escalar , o resultado também precisa estar em .
Pegamos uma matriz em :
Multiplicando por um escalar :
Observamos que e , então também satisfaz as condições para estar em . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, conclui-se que é um subespaço de .

Exercícios relacionados