Verificar se os subconjuntos abaixo são subespaços de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente verificar se um certo conjunto de matrizes
é um subespaço de
, que é o conjunto de todas as matrizes
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço e quais condições ele deve satisfazer. Basicamente, um subespaço precisa conter a matriz zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a matriz zero está em
. A matriz zero em
é:
No conjunto
, temos que
e
. Se escolhermos
,
, então
e
. Assim, a matriz zero está em
. Tá tranquilo com esse primeiro passo!
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes qualquer em
e somarmos elas, o resultado também precisa estar em
.
Vamos considerar duas matrizes em
:
Somando
e
:
Simplificando:
Vemos que
e
, então
também está em
. Então,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos checar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos uma matriz qualquer em
e multiplicarmos por um número escalar
, o resultado também precisa estar em
.
Pegamos uma matriz em
:
Multiplicando por um escalar
:
Observamos que
e
, então
também satisfaz as condições para estar em
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, conclui-se que
é um subespaço de
.