Prove que, para todo X ⊆ R, vale X = X U fr(X). Conclua que X é fechado se, e somente se, X ⊃ fr X.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer conjunto dos números reais , a sua clausura é igual à união de com a sua fronteira . Além disso, devemos concluir que é fechado se, e somente se, . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de clausura, fronteira e conjuntos fechados na topologia.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a clausura de um conjunto. A clausura de um conjunto é o menor conjunto fechado que contém . Mais praticamente, ela é formada por todos os pontos de mais todos os pontos de acumulação de .

Passo 3

Agora, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto . A fronteira é o conjunto de pontos que estão “na borda” de , ou seja, pontos onde todo vizinho contém pontos de e de seu complementar. Formalmente, .

Passo 4

Queremos provar que . Sabemos que inclui todos os pontos de e seus pontos de acumulação. A fronteira consiste exatamente nos pontos de acumulação que não estão já em (a menos que seja fechado). Portanto, a união deve incluir todos os pontos de , já que é mais seus pontos de acumulação.

Passo 5

Formalizando, temos:
onde é o conjunto de pontos de acumulação de . A fronteira também pode ser escrita como:
Em , se é um subconjunto, seus pontos de acumulação em são os mesmos que na sua complementação. Portanto, coincide com .

Passo 6

Assim, substituindo, temos:
Isso mostra que a clausura de é realmente a união de com a sua fronteira.

Passo 7

Agora, para concluir que é fechado se, e somente se, , observamos que se é fechado, então . Pela igualdade que provamos, isso implica que:
O que só é possível se .

Passo 8

Conversamente, se , então:
Isso significa que é igual à sua clausura, ou seja, é fechado.

Resposta

Portanto, provamos que para todo , e que é fechado se, e somente se, .

Exercícios relacionados

Classifique, se possive, as sequëncias abaixo quanto à sua monotonicidade.
u_n = 5^n / 2^(n^2)
Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro máximo.
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(17)
Determine, usando diferencial, valores aproximados para: sen(-11*pi/60) usando x0 = -pi / 6