Prove que, para todo , vale . Conclua que é fechado se, e somente se, .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos provar que, para qualquer conjunto dos números reais , a sua clausura é igual à união de com a sua fronteira . Além disso, devemos concluir que é fechado se, e somente se, . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os conceitos de clausura, fronteira e conjuntos fechados na topologia.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é a clausura de um conjunto. A clausura de um conjunto é o menor conjunto fechado que contém . Mais praticamente, ela é formada por todos os pontos de mais todos os pontos de acumulação de .
Passo 3
Agora, vamos entender o que é a fronteira de um conjunto . A fronteira é o conjunto de pontos que estão “na borda” de , ou seja, pontos onde todo vizinho contém pontos de e de seu complementar. Formalmente, .
Passo 4
Queremos provar que . Sabemos que inclui todos os pontos de e seus pontos de acumulação. A fronteira consiste exatamente nos pontos de acumulação que não estão já em (a menos que seja fechado). Portanto, a união deve incluir todos os pontos de , já que é mais seus pontos de acumulação.
Passo 5
Formalizando, temos:
onde é o conjunto de pontos de acumulação de . A fronteira também pode ser escrita como:
Em , se é um subconjunto, seus pontos de acumulação em são os mesmos que na sua complementação. Portanto, coincide com .
Passo 6
Assim, substituindo, temos:
Isso mostra que a clausura de é realmente a união de com a sua fronteira.
Passo 7
Agora, para concluir que é fechado se, e somente se, , observamos que se é fechado, então . Pela igualdade que provamos, isso implica que:
O que só é possível se .
Passo 8
Conversamente, se , então:
Isso significa que é igual à sua clausura, ou seja, é fechado.
Resposta
Portanto, provamos que para todo , e que é fechado se, e somente se, .