Quais dos seguintes são combinações lineares de A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3] e C=[ll0 & 2 1 & 4] ?
[cc-1 & 5 7 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a matriz -1 & 5 7 & 1 é uma combinação linear das matrizes A, B e C. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares de matrizes. Para resolver, vamos precisar configurar um sistema de equações onde multiplicamos cada matriz por um escalar desconhecido e igualamos ao resultado desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de combinação linear. Queremos encontrar números x, y e z tais que:
x cdot A + y cdot B + z cdot C = -1 & 5 7 & 1
Substituindo as matrizes dadas:
x cdot 4 & 0 -2 & -2 + y cdot 1 & -1 2 & 3 + z cdot 0 & 2 1 & 4 = -1 & 5 7 & 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos escalares:
4x & 0x -2x & -2x + y & -y 2y & 3y + 0 & 2z z & 4z = -1 & 5 7 & 1

Passo 4

Somando as matrizes à esquerda:
4x + y + 0 & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = -1 & 5 7 & 1

Passo 5

Agora, igualamos cada posição da matriz resultante com a matriz desejada, formando um sistema de equações:
  1. 4x + y = -1 (posição [1,1])
  2. -y + 2z = 5 (posição [1,2])
  3. -2x + 2y + z = 7 (posição [2,1])
  4. -2x + 3y + 4z = 1 (posição [2,2])

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2:
-y + 2z = 5 Rightarrow y = 2z - 5

Passo 7

Substituímos y = 2z - 5 na equação 1:
4x + (2z - 5) = -1 Rightarrow 4x + 2z = 4 Rightarrow 2x + z = 2 (Equação 5) çã

Passo 8

Agora, substituímos y = 2z - 5 na equação 3:
-2x + 2(2z - 5) + z = 7 -2x + 4z - 10 + z = 7 -2x + 5z = 17 (Equação 6) çã

Passo 9

Temos agora duas equações com duas incógnitas:
  1. 2x + z = 2 (Equação 5)
  2. -2x + 5z = 17 (Equação 6)
Vamos somar as duas equações para eliminar x:
2x + z - 2x + 5z = 2 + 17 6z = 19 z = 196

Passo 10

Com z = 196, substituímos na Equação 5 para encontrar x:
2x + 196 = 2 2x = 2 - 196 2x = 126 - 196 2x = -76 x = -712

Passo 11

Agora, encontramos y usando y = 2z - 5:
y = 2 cdot 196 - 5 y = 386 - 5 y = 193 - 5 y = 193 - 153 y = 43

Passo 12

Finalmente, temos os valores:
x = -712, y = 43, z = 196
Isso significa que a matriz -1 & 5 7 & 1 é uma combinação linear das matrizes A, B e C.

Resposta

A matriz -1 & 5 7 & 1 é uma combinação linear de A, B e C, com:
x = -712, y = 43, z = 196

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