Quais dos seguintes são combinações lineares de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a matriz
é uma combinação linear das matrizes
,
e
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente combinações lineares de matrizes. Para resolver, vamos precisar configurar um sistema de equações onde multiplicamos cada matriz por um escalar desconhecido e igualamos ao resultado desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de combinação linear. Queremos encontrar números
,
e
tais que:
Substituindo as matrizes dadas:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar cada matriz pelos seus respectivos escalares:
Passo 4
Somando as matrizes à esquerda:
Passo 5
Agora, igualamos cada posição da matriz resultante com a matriz desejada, formando um sistema de equações:
-
(posição [1,1]) -
(posição [1,2]) -
(posição [2,1]) -
(posição [2,2])
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da equação 2:
Passo 7
Substituímos
na equação 1:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação 3:
Passo 9
Temos agora duas equações com duas incógnitas:
-
(Equação 5) -
(Equação 6)
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 10
Com
, substituímos na Equação 5 para encontrar
:
Passo 11
Agora, encontramos
usando
:
Passo 12
Finalmente, temos os valores:
Isso significa que a matriz
é uma combinação linear das matrizes
,
e
.
Resposta
A matriz
é uma combinação linear de
,
e
, com:
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.
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Quais dos seguintes são combinações lineares de
e
?
Prove que o triângulo
e
é equilátero.