Prove que o triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o triângulo com vértices em $ A(2, 3, 1) $, $ B(2, 1, -1) $ e $ C(2, 2, -2) $ é um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, e o Teorema de Pitágoras para verificar se existe um ângulo de 90 graus no triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ P(x_1, y_1, z_1) $ e $ Q(x_2, y_2, z_2) $ no espaço é:
P(x1, y1, z1)

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas distâncias:
  1. Distância entre A e B ($ AB $):
AB
  1. Distância entre A e C ($ AC $):
AB = raiz(2 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 - 1)^2 = raiz0 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
  1. Distância entre B e C ($ BC $):
AC

Passo 4

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para verificar se há um triângulo retângulo. O teorema diz que em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o maior lado) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos identificar o maior lado:
AC = raiz10 approx 3,16 AB = 2raiz2 approx 2,83 BC = raiz2 approx 1,41
Então, a hipotenusa é $ AC $.
Vamos verificar se:
AC
Calculando:
AC^2 = AB^2 + BC^2
Como a igualdade se mantém, isso confirma que o triângulo atende ao Teorema de Pitágoras.

Resposta

O triângulo com vértices em $ A(2, 3, 1) $, $ B(2, 1, -1) $ e $ C(2, 2, -2) $ é um triângulo retângulo.

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