Prove que o triângulo de vértices A (2, 3, 1), B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é um triângulo retângulo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar que o triângulo com vértices em $ A(2, 3, 1) $, $ B(2, 1, -1) $ e $ C(2, 2, -2) $ é um triângulo retângulo. Para isso, vamos usar a Geometria Analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, e o Teorema de Pitágoras para verificar se existe um ângulo de 90 graus no triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as distâncias entre cada par de pontos para encontrar os comprimentos dos lados do triângulo. A fórmula para calcular a distância entre dois pontos $ P(x_1, y_1, z_1) $ e $ Q(x_2, y_2, z_2) $ no espaço é:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas distâncias:
- Distância entre A e B ($ AB $):
- Distância entre A e C ($ AC $):
- Distância entre B e C ($ BC $):
Passo 4
Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos aplicar o Teorema de Pitágoras para verificar se há um triângulo retângulo. O teorema diz que em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o maior lado) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados.
Vamos identificar o maior lado:
Então, a hipotenusa é $ AC $.
Vamos verificar se:
Calculando:
Como a igualdade se mantém, isso confirma que o triângulo atende ao Teorema de Pitágoras.
Resposta
O triângulo com vértices em $ A(2, 3, 1) $, $ B(2, 1, -1) $ e $ C(2, 2, -2) $ é um triângulo retângulo.