Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear definido por três transformações específicas:
Queremos encontrar a imagem de , sua dimensão e uma base para essa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a imagem de (também chamada de imagem linear ou espans) é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente:
Para encontrar a imagem de , precisamos identificar os vetores que são obtidos quando aplicamos aos vetores da base de .
Passo 3
Observamos que os vetores , e são transformados por em três vetores diferentes. Vamos coletar esses vetores transformados:
Esses vetores formam um conjunto que gera a imagem de . Porém, precisamos verificar se eles são linearmente independentes para determinar a dimensão e uma base.
Passo 4
Vamos verificar a linearidade desses vetores. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Consideremos a combinação:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação, .
Substituindo na primeira equação, .
Substituindo na terceira equação, .
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os vetores , e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que neste caso é 3.
Resposta
A imagem de é o espaço gerado pelos vetores , e . A dimensão da imagem é e uma base para a imagem é: