Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
© A imagem de T, a dimensâo e uma de suas bases.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um operador linear T(1,0,1) = (1,1,0), T(0,1,0) = (1,0,-1), T(0,1,1) = (0,0,1) definido por três transformações específicas:
Queremos encontrar a imagem de , sua dimensão e uma base para essa imagem. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a imagem de Im(T) = T(v) | v in R^3 (também chamada de imagem linear ou espans) é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a algum vetor de . Formalmente:
Para encontrar a imagem de , precisamos identificar os vetores que são obtidos quando aplicamos aos vetores da base de .

Passo 3

Observamos que os vetores T(1,0,1) = (1,1,0) T(0,1,0) = (1,0,-1) T(0,1,1) = (0,0,1) , e são transformados por em três vetores diferentes. Vamos coletar esses vetores transformados:
Esses vetores formam um conjunto que gera a imagem de . Porém, precisamos verificar se eles são linearmente independentes para determinar a dimensão e uma base.

Passo 4

Vamos verificar a linearidade desses vetores. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Consideremos a combinação:
a(1,1,0) + b(1,0,-1) + c(0,0,1) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
a + b = 0 a = 0 - b + c = 0
Resolvendo:
  1. Da segunda equação, .
  2. Substituindo na primeira equação, .
  3. Substituindo na terceira equação, .
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os vetores , e são linearmente independentes, eles formam uma base para a imagem de . A dimensão da imagem é o número de vetores na base, que neste caso é 3.

Resposta

A imagem de , (1,1,0), (1,0,-1), (0,0,1) , é o espaço gerado pelos vetores , e . A dimensão da imagem é e uma base para a imagem é:

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