Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que o produto de dois determinantes, um formado pelos vetores e outro pelos vetores , é igual a um determinante onde cada entrada é o produto escalar dos vetores correspondentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com determinantes e produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como o produto escalar se relaciona com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz M = a & b & c d & e & f g & h & i assim:
det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O determinante de é calculado por:
Isso nos dá um número que, entre outras coisas, nos diz se os vetores das linhas de são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e , o produto escalar é:
Esse produto resulta em um número que mede o quanto os vetores apontam na mesma direção.
Passo 4
Vamos aplicar essa definição à matriz que aparece na expressão que queremos provar. A matriz é formada pelos produtos escalares dos vetores u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z com :
Queremos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Vamos agora relacionar os determinantes dos dois conjuntos de vetores. Seja A = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 , B = x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 a matriz cujas linhas são det(A) cdot det(B) = det(AB) e a matriz cujas colunas são . Ou seja:
Segundo a propriedade dos determinantes, se multiplicarmos duas matrizes, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:
Observe que cada entrada dessa matriz é exatamente o produto escalar dos vetores correspondentes.
Passo 7
Assim, temos que:
det(A) cdot det(B) = det(AB) = | ccc u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z |
Portanto, provamos que o produto dos determinantes dos conjuntos de vetores é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares dessas vetores.
Resposta
Assim, mostramos que
[u, v, w][x, y, z] = |ccc u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z |