Prove que
[u, v, w][x, y, z]=|ccc u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z |
Sugestão Se M M=P, então det M cdot det N=det P :
|lll u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & v3 ||lll x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 |=|ccc u1 x1+u2 x2+u3 x3 & * & * v1 x1+v2 x2+v3 x3 & * & * * & * & * |

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que o produto de dois determinantes, um formado pelos vetores e outro pelos vetores , é igual a um determinante onde cada entrada é o produto escalar dos vetores correspondentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com determinantes e produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como o produto escalar se relaciona com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz M = a & b & c d & e & f g & h & i assim:
det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O determinante de é calculado por:
Isso nos dá um número que, entre outras coisas, nos diz se os vetores das linhas de são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e , o produto escalar é:
Esse produto resulta em um número que mede o quanto os vetores apontam na mesma direção.

Passo 4

Vamos aplicar essa definição à matriz que aparece na expressão que queremos provar. A matriz é formada pelos produtos escalares dos vetores u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z com :
Queremos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Vamos agora relacionar os determinantes dos dois conjuntos de vetores. Seja A = u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 , B = x1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3 a matriz cujas linhas são det(A) cdot det(B) = det(AB) e a matriz cujas colunas são . Ou seja:
Segundo a propriedade dos determinantes, se multiplicarmos duas matrizes, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:

Passo 6

Vamos calcular o produto AB = A cdot B = u1x1 + u2x2 + u3x3 & u1y1 + u2y2 + u3y3 & u1z1 + u2z2 + u3z3 v1x1 + v2x2 + v3x3 & v1y1 + v2y2 + v3y3 & v1z1 + v2z2 + v3z3 w1x1 + w2x2 + w3x3 & w1y1 + w2y2 + w3y3 & w1z1 + w2z2 + w3z3 :
Observe que cada entrada dessa matriz é exatamente o produto escalar dos vetores correspondentes.

Passo 7

Assim, temos que:
det(A) cdot det(B) = det(AB) = | ccc u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z |
Portanto, provamos que o produto dos determinantes dos conjuntos de vetores é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares dessas vetores.

Resposta

Assim, mostramos que
[u, v, w][x, y, z] = |ccc u cdot x & u cdot y & u cdot z v cdot x & v cdot y & v cdot z w cdot x & w cdot y & w cdot z |

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