Prove que
Sugestão Se , então :

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa provar que o produto de dois determinantes, um formado pelos vetores e outro pelos vetores , é igual a um determinante onde cada entrada é o produto escalar dos vetores correspondentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente com determinantes e produto escalar. Para resolver, vamos precisar entender como os determinantes funcionam e como o produto escalar se relaciona com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o determinante de uma matriz 3x3. Se temos uma matriz assim:
O determinante de é calculado por:
Isso nos dá um número que, entre outras coisas, nos diz se os vetores das linhas de são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores e , o produto escalar é:
Esse produto resulta em um número que mede o quanto os vetores apontam na mesma direção.

Passo 4

Vamos aplicar essa definição à matriz que aparece na expressão que queremos provar. A matriz é formada pelos produtos escalares dos vetores com :
Queremos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Vamos agora relacionar os determinantes dos dois conjuntos de vetores. Seja a matriz cujas linhas são e a matriz cujas colunas são . Ou seja:
Segundo a propriedade dos determinantes, se multiplicarmos duas matrizes, o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes:

Passo 6

Vamos calcular o produto :
Observe que cada entrada dessa matriz é exatamente o produto escalar dos vetores correspondentes.

Passo 7

Assim, temos que:
Portanto, provamos que o produto dos determinantes dos conjuntos de vetores é igual ao determinante da matriz formada pelos produtos escalares dessas vetores.

Resposta

Assim, mostramos que

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Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)
Seja a transformação linear dada por . Mostre que é um isomorfismo e determine e uma matriz que a represente.
Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: e