Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação
é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas propriedades para a nossa transformação
.
Passo 3
Verificando a Adição:
Seja e
. Então:
Seja
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que
.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar e
. Então:
Seja
Fatorando
:
Portanto,
.
Resposta
Como a transformação
satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, concluímos que
é uma aplicação linear.