Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, uma transformação é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
Adição: para quaisquer vetores e .
Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas propriedades para a nossa transformação .
Passo 3
Verificando a Adição:
Seja e . Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que .
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar e . Então:
Fatorando :
Portanto, .
Resposta
Como a transformação satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.