Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas propriedades para a nossa transformação .

Passo 3

Verificando a Adição:
Seja e . Então:
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que .

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja um escalar e . Então:
Fatorando :
Portanto, .

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.

Exercícios relacionados

Prove que
Sugestão Se , então :
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: e
Seja uma transformação linear definida por . Quais dos vetores abaixo pertencem ao núcleo de ?