Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x-5 y, 2 x+3 y)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para verificar se a aplicação , definida por , é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais são as propriedades que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, uma transformação é dita linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas propriedades para a nossa transformação .

Passo 3

Verificando a Adição:
Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) - 5(y1 + y2), 2(x1 + x2) + 3(y1 + y2)) e = (x1 + x2 - 5y1 - 5y2, 2x1 + 2x2 + 3y1 + 3y2) . Então:
T(u) + T(v) = (x1 - 5y1, 2x1 + 3y1) + (x2 - 5y2, 2x2 + 3y2) = (x1 - 5y1 + x2 - 5y2, 2x1 + 3y1 + 2x2 + 3y2)
Simplificando:
Por outro lado:
Vemos que .

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja T(cu) = T(cx, cy) = (cx - 5cy, 2cx + 3cy) um escalar e = c(x - 5y, 2x + 3y) = cT(u) . Então:
Fatorando :
Portanto, .

Resposta

Como a transformação satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a de homogeneidade, concluímos que é uma aplicação linear.

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