Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis (, , ):
Vamos usar o método de Gauss-Jordan, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares transformando a matriz aumentada do sistema em uma forma escalonada reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Cada linha representa uma equação do sistema.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida, onde cada pivô (o primeiro número diferente de zero em uma linha) é 1 e é o único número diferente de zero na sua coluna.
Vamos começar organizando a matriz. O pivô da primeira coluna está na posição (1,1), que já é . Vamos torná-lo 1 dividindo toda a primeira linha por :
Passo 4
Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos subtrair a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
Passo 5
Vamos para a segunda coluna. O pivô está na posição (2,2) com o valor 1, o que é perfeito. Agora, queremos zerar o elemento abaixo desse pivô na terceira linha.
Para isso, vamos somar a segunda linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
Passo 6
Agora, olhamos para a terceira coluna. O pivô está na posição (3,3) com o valor 4. Vamos torná-lo 1 dividindo toda a terceira linha por 4:
Passo 7
Com a matriz ainda quase pronta, vamos agora zerar os elementos acima do pivô na terceira coluna.
Primeiro, na segunda linha: queremos zerar o 3 na posição (2,3). Para isso, vamos subtrair 3 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 3 × Linha 3:
Em seguida, na primeira linha: queremos zerar o -1 na posição (1,3). Vamos adicionar a terceira linha à primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + Linha 3:
Resposta
Resolvido o sistema pelo método de Gauss-Jordan, obtemos: