Seja T: R^3 R^3 a transformação linear dada por T(x, y, z)=(x-y+z, 2 y, y+z). Mostre que T é um isomorfismo e determine T^l e uma matriz que a represente.

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é mostrar que é um isomorfismo, ou seja, uma transformação que é bijetora (injetora e sobrejetora), e também encontrar a transformação inversa e a matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar que ela é injetora e sobrejetora. Mas, como estamos no espaço finito , basta mostrar que a matriz de é invertível, ou seja, que seu determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos construir a matriz de A = 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 . A transformação leva a . Então, a matriz de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 1) - (-1) cdot (0 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 0) = 2 - 0 + 0 = 2 para verificar se é invertível:
Como , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformação inversa A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa Cof(A) = (2 cdot 1 - 0 cdot 1) & -(0 cdot 1 - 0 cdot 1) & (0 cdot 1 - 2 cdot 0) -( -1 cdot 1 - 1 cdot 1) & (1 cdot 1 - 1 cdot 0) & -(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) ( -1 cdot 0 - 1 cdot 2) & -(1 cdot 0 - 1 cdot 0) & (1 cdot 2 - (-1) cdot 0) = 2 & 0 & 0 2 & 1 & -1 -2 & 0 & 2 . Sabemos que:
adj(A) = 2 & 2 & -2 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta A^-1 = 12 2 & 2 & -2 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 = 1 & 1 & -1 0 & 12 & 0 0 & -12 & 1 . Calculamos os cofatores de :
Então, a adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é:

Passo 6

Com a matriz inversa T^-1(a, b, c) = (a + b - c, 12b, -12b + c) , podemos definir a transformação . Se é representada por , então é representada por . Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação A = 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 0 & 1 & 1 é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por , e a matriz que representa é:

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