Seja a transformação linear dada por . Mostre que é um isomorfismo e determine e uma matriz que a represente.

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação linear definida por . O objetivo é mostrar que é um isomorfismo, ou seja, uma transformação que é bijetora (injetora e sobrejetora), e também encontrar a transformação inversa e a matriz que representa .

Passo 2

Primeiro, para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar que ela é injetora e sobrejetora. Mas, como estamos no espaço finito , basta mostrar que a matriz de é invertível, ou seja, que seu determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos construir a matriz de . A transformação leva a . Então, a matriz de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de para verificar se é invertível:
Como , a matriz é invertível, o que significa que é um isomorfismo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a transformação inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa . Sabemos que:
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta . Calculamos os cofatores de :
Então, a adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é:

Passo 6

Com a matriz inversa , podemos definir a transformação . Se é representada por , então é representada por . Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação é um isomorfismo. A transformação inversa é dada por , e a matriz que representa é:

Exercícios relacionados

Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Prove: .
Resolva cada um dos seguintes sistemas utilizando o método de Gauss-Jordan (matrizes escalonadas reduzidas)
Prove que
Sugestão Se , então :