funções. Prove que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções
e
que vão de
para
. A pergunta é para mostrar que o gradiente do produto dessas duas funções é igual a
vezes o gradiente de
mais
vezes o gradiente de
. Isso envolve entender o que é o gradiente e como ele se comporta quando a gente multiplica duas funções. Vamos precisar usar a definição de gradiente e aplicar a regra do produto para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. Se
, então:
Passo 3
Agora, queremos achar o gradiente de
. Vamos aplicar a definição de gradiente:
Passo 4
Para cada componente
, vamos usar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que:
Passo 5
Substituindo isso de volta no vetor gradiente, temos:
Passo 6
Se observarmos bem, isso pode ser escrito como:
Porque estamos multiplicando
pelo vetor
e
pelo vetor
, e somando os dois vetores.
Resposta
A propriedade está comprovada: