Sejam f, g: R^n -> R funções. Prove que:
nabla(f g) = f nabla g + g nabla f

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções e que vão de para . A pergunta é para mostrar que o gradiente do produto dessas duas funções é igual a vezes o gradiente de mais vezes o gradiente de . Isso envolve entender o que é o gradiente e como ele se comporta quando a gente multiplica duas funções. Vamos precisar usar a definição de gradiente e aplicar a regra do produto para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. Se , então:

Passo 3

Agora, queremos achar o gradiente de . Vamos aplicar a definição de gradiente:

Passo 4

Para cada componente , vamos usar a regra do produto para derivadas. A regra do produto diz que:

Passo 5

Substituindo isso de volta no vetor gradiente, temos:

Passo 6

Se observarmos bem, isso pode ser escrito como:
Porque estamos multiplicando pelo vetor e pelo vetor , e somando os dois vetores.

Resposta

A propriedade está comprovada:

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