Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função
e precisamos encontrar uma das raízes dessa função em um intervalo de comprimento 0,5. Basicamente, queremos achar um valor de
onde
dentro de um intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a localizar raízes quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher alguns valores de
e calcular
para ver onde a função muda de sinal. Isso indica que existe uma raiz nesse intervalo. Vamos tentar valores inteiros próximos para facilitar.
Vamos calcular
,
,
, etc.
Percebemos que entre
e
, a função muda de negativo para positivo (
e
). Isso significa que, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 3
Agora, para encontrar um intervalo mais preciso com comprimento 0,5 onde a raiz está localizada, vamos dividir o intervalo [1, 2] em subintervalos de 0,5 e verificar onde ocorre a mudança de sinal.
Primeiro subintervalo: [1, 1,5]
Vamos calcular
:
-
- Calculando passo a passo:
-
- Então,
Agora temos:
A função continua negativa nesse subintervalo, então a raiz não está entre 1 e 1,5.
Passo 4
Segundo subintervalo: [1,5, 2]
Vamos já sabemos que:
Aqui, a função muda de negativo para positivo (
para
), indicando que a raiz está nesse intervalo. O comprimento desse intervalo é
, que é exatamente o que a gente queria.
Resposta
Uma das raízes da função
está no intervalo
.
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Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Localizar a raiz
em um intervalo de comprimento 0.5.
Prove, usando definição, que o limite de um produto é o produto dos limites.
Prove, usando definição, que se
, então
.