Seja . Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem a função e precisamos encontrar uma das raízes dessa função em um intervalo de comprimento 0,5. Basicamente, queremos achar um valor de onde dentro de um intervalo específico. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário, que nos ajuda a localizar raízes quando sabemos que a função muda de sinal em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher alguns valores de e calcular para ver onde a função muda de sinal. Isso indica que existe uma raiz nesse intervalo. Vamos tentar valores inteiros próximos para facilitar.
Vamos calcular , , , etc.
Percebemos que entre e , a função muda de negativo para positivo ( e ). Isso significa que, de acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 3

Agora, para encontrar um intervalo mais preciso com comprimento 0,5 onde a raiz está localizada, vamos dividir o intervalo [1, 2] em subintervalos de 0,5 e verificar onde ocorre a mudança de sinal.
Primeiro subintervalo: [1, 1,5]
Vamos calcular :
  • Calculando passo a passo:
  • Então,
Agora temos:
A função continua negativa nesse subintervalo, então a raiz não está entre 1 e 1,5.

Passo 4

Segundo subintervalo: [1,5, 2]
Vamos já sabemos que:
Aqui, a função muda de negativo para positivo ( para ), indicando que a raiz está nesse intervalo. O comprimento desse intervalo é , que é exatamente o que a gente queria.

Resposta

Uma das raízes da função está no intervalo .

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Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
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