Prove, usando definição, que o limite de um produto é o produto dos limites.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de limite em funções. O que precisamos provar é que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções. Ou seja, se sabemos os limites de e quando se aproxima de um ponto , vamos mostrar que o limite de também é igual ao produto desses limites. Para isso, vamos usar a definição de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
significa que, para todo , existe um tal que se , então .
E de forma similar:
significa que, para todo , existe um tal que se , então .

Passo 3

Queremos provar que:
Para isso, vamos considerar a diferença e mostrar que ela pode ser tornada menor que um qualquer escolhendo um apropriado.

Passo 4

Vamos manipular a expressão :
Usando a propriedade do triângulo, isso fica:

Passo 5

Agora, para controlar essa expressão, precisamos limitar . Sabemos que se aproxima de quando se aproxima de , então podemos escolher pequeno o suficiente para que seja menor que , por exemplo. Assim:

Passo 6

Voltando à nossa expressão:
Queremos que isso seja menor que . Para isso, podemos escolher e .

Passo 7

Com essas escolhas, temos:
e
Somando essas duas desigualdades:

Passo 8

Finalmente, definimos como o menor valor entre e calculados a partir das definições de limite de e . Assim, para todo tal que , temos:
Isso prova que:

Resposta

Portanto, mostramos que o limite do produto de e é igual ao produto dos limites de cada função individualmente, ou seja:

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Seja . Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove, usando definição, que se , então .
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.