Prove, usando definição, que o limite de um produto é o produto dos limites.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício de limite em funções. O que precisamos provar é que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções. Ou seja, se sabemos os limites de
e
quando
se aproxima de um ponto
, vamos mostrar que o limite de
também é igual ao produto desses limites. Para isso, vamos usar a definição de limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de limite. Dizemos que:
significa que, para todo
, existe um
tal que se
, então
.
E de forma similar:
significa que, para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 3
Queremos provar que:
Para isso, vamos considerar a diferença
e mostrar que ela pode ser tornada menor que um
qualquer escolhendo um
apropriado.
Passo 4
Vamos manipular a expressão
:
Usando a propriedade do triângulo, isso fica:
Passo 5
Agora, para controlar essa expressão, precisamos limitar
. Sabemos que
se aproxima de
quando
se aproxima de
, então podemos escolher
pequeno o suficiente para que
seja menor que
, por exemplo. Assim:
Passo 6
Voltando à nossa expressão:
Queremos que isso seja menor que
. Para isso, podemos escolher
e
.
Passo 7
Com essas escolhas, temos:
e
Somando essas duas desigualdades:
Passo 8
Finalmente, definimos
como o menor valor entre
e
calculados a partir das definições de limite de
e
. Assim, para todo
tal que
, temos:
Isso prova que:
Resposta
Portanto, mostramos que o limite do produto de
e
é igual ao produto dos limites de cada função individualmente, ou seja:
Exercícios relacionados
Seja
. Localizar uma das raiz em um intervalo de comprimento 0.5.
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Prove, usando definição, que se
, então
.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.