Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que verificar se a sequência
é monótona (isto é, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) ou não monótona. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas e como analisar o comportamento delas usando cálculo básico.
Passo 2
Vamos chamar o termo geral da sequência de
. Para verificar se a sequência é monótona, podemos analisar se
está aumentando ou diminuindo conforme
aumenta. Uma forma de fazer isso é calcular a diferença
e ver se é sempre positiva ou sempre negativa.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos a diferença:
Para simplificar, vamos analisar o sinal dessa diferença.
Passo 4
Observamos que, conforme
aumenta, o denominador
também aumenta, tornando a fração
menor que
. Além disso, a função
tende a diminuir conforme
aumenta, já que o crescimento do denominador supera o do numerador.
Passo 5
Outra forma de confirmar isso é derivando a função contínua correspondente
. A derivada:
Para
,
, então
, indicando que a função é decrescente.
Resposta
A sequência
é decrescente, ou seja, monótona decrescente.