Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que verificar se a sequência é monótona (isto é, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) ou não monótona. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas e como analisar o comportamento delas usando cálculo básico.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral da sequência de . Para verificar se a sequência é monótona, podemos analisar se está aumentando ou diminuindo conforme aumenta. Uma forma de fazer isso é calcular a diferença e ver se é sempre positiva ou sempre negativa.

Passo 3

Calculando :
Agora, calculamos a diferença:
Para simplificar, vamos analisar o sinal dessa diferença.

Passo 4

Observamos que, conforme aumenta, o denominador também aumenta, tornando a fração menor que . Além disso, a função tende a diminuir conforme aumenta, já que o crescimento do denominador supera o do numerador.

Passo 5

Outra forma de confirmar isso é derivando a função contínua correspondente . A derivada:
Para , , então , indicando que a função é decrescente.

Resposta

A sequência é decrescente, ou seja, monótona decrescente.

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Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
é
Prove, usando a definição, que:
Descreva os conjuntos abaixo na forma construtiva (atenção, as respostas ao final da lista não são necessariamente as únicas possíveis, embora sejam de certo modo
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Enumerativa:
Predicativa: é