Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
{ln(n+2)/(n+2)}_{n ≥ 1}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que verificar se a sequência {ln(n+2)/(n+2)}_{n ≥ 1} é monótona (isto é, se está sempre aumentando ou sempre diminuindo) ou não monótona. Para isso, vamos precisar entender sobre sequências monótonas e como analisar o comportamento delas usando cálculo básico.

Passo 2

Vamos chamar o termo geral da sequência de . Para verificar se a sequência é monótona, podemos analisar se está aumentando ou diminuindo conforme n aumenta. Uma forma de fazer isso é calcular a diferença e ver se é sempre positiva ou sempre negativa.

Passo 3

Calculando a_{n+1}:
Agora, calculamos a diferença:
Para simplificar, vamos analisar o sinal dessa diferença.

Passo 4

Observamos que, conforme n aumenta, o denominador também aumenta, tornando a fração menor que . Além disso, a função tende a diminuir conforme x aumenta, já que o crescimento do denominador supera o do numerador.

Passo 5

Outra forma de confirmar isso é derivando a função contínua correspondente . A derivada:
Para x ≥ 1, , então , indicando que a função é decrescente.

Resposta

A sequência {ln(n+2)/(n+2)}_{n ≥ 1} é decrescente, ou seja, monótona decrescente.

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