Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar uma das raízes dela com uma precisão de 0,005. Isso significa que queremos um valor de
que torne
o mais próximo possível de zero, dentro dessa margem de erro. Para isso, vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica bacana para aproximar raízes de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde a função pode ter uma raiz. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se a função muda de sinal em um intervalo, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, vamos começar testando alguns valores de
para ver onde ocorre essa mudança de sinal.
Passo 3
Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Vimos que
e
. Como a função mudou de negativo para positivo entre
e
, sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos dividir esse intervalo ao meio para refinar a busca. O ponto médio entre 2 e 3 é 2,5. Vamos calcular
:
Como
(positivo) e
(negativo), a raiz está entre 2 e 2,5.
Passo 5
Vamos continuar dividindo o intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(negativo) e
(positivo), a raiz está entre 2,25 e 2,5.
Passo 6
Dividimos novamente o intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(negativo) e
(positivo), a raiz está entre 2,375 e 2,5.
Passo 7
Mais uma subdivisão no intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(positivo) e
(negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,4375.
Passo 8
Mais uma vez, dividimos o intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(positivo) e
(negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,40625.
Passo 9
Continuamos com o intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(positivo) e
(negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,390625.
Passo 10
Mais uma subdivisão no intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(positivo) e
(negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,3828125.
Passo 11
Mais uma vez, dividimos o intervalo
. O ponto médio é
. Calculamos
:
Como
(negativo) e
(positivo), a raiz está entre 2,37890625 e 2,3828125.
Resposta
A raiz aproximada da função
com precisão de 0,005 é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente
com precisão 0.001.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva
em função de
.
Seja
. Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.