Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar uma das raízes dela com uma precisão de 0,005. Isso significa que queremos um valor de que torne o mais próximo possível de zero, dentro dessa margem de erro. Para isso, vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica bacana para aproximar raízes de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde a função pode ter uma raiz. Pelo Teorema do Valor Intermediário, se a função muda de sinal em um intervalo, ou seja, passa de positivo para negativo ou vice-versa, então ela tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Então, vamos começar testando alguns valores de para ver onde ocorre essa mudança de sinal.

Passo 3

Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Vimos que e . Como a função mudou de negativo para positivo entre e , sabemos que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos dividir esse intervalo ao meio para refinar a busca. O ponto médio entre 2 e 3 é 2,5. Vamos calcular :
Como (positivo) e (negativo), a raiz está entre 2 e 2,5.

Passo 5

Vamos continuar dividindo o intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (negativo) e (positivo), a raiz está entre 2,25 e 2,5.

Passo 6

Dividimos novamente o intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (negativo) e (positivo), a raiz está entre 2,375 e 2,5.

Passo 7

Mais uma subdivisão no intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (positivo) e (negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,4375.

Passo 8

Mais uma vez, dividimos o intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (positivo) e (negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,40625.

Passo 9

Continuamos com o intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (positivo) e (negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,390625.

Passo 10

Mais uma subdivisão no intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (positivo) e (negativo), a raiz está entre 2,375 e 2,3828125.

Passo 11

Mais uma vez, dividimos o intervalo . O ponto médio é . Calculamos :
Como (negativo) e (positivo), a raiz está entre 2,37890625 e 2,3828125.

Resposta

A raiz aproximada da função com precisão de 0,005 é .

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Seja . Calcular aproximadamente com precisão 0.001.
Prove, usando a desigualdade de Bernoulli, que:
.
Considere a sequência de números reais definida por:
Escreva em função de .
Seja . Localizar a raiz em um intervalo de comprimento 0.5.