Prove que: Usando a mesma técnica empregada no item (a), mostre que
é um número irracional
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que
é um número irracional usando a mesma técnica do item (a). Estamos falando de teoria dos números, especificamente sobre números irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um número irracional e como provar que um número específico não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser escrito como uma fração
, onde
e
são inteiros e
. Exemplos clássicos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão
. Aqui,
está na base 10, a não ser que seja especificado de outra forma. Queremos mostrar que esse logaritmo não pode ser escrito como uma fração de dois inteiros.
Passo 4
Vamos assumir, para fins de contradição, que
seja racional. Ou seja, existe uma fração
, onde
e
são inteiros, tal que:
Passo 5
Se rearranjarmos essa equação usando as propriedades dos logaritmos, temos:
Isso significa que
é igual a 10 elevado a uma fração
.
Passo 6
Elevando ambos os lados à potência
, obtemos:
Isso implica que
é uma potência exata de 10.
Passo 7
Agora, vamos analisar os fatores primos de ambos os lados. O número 10 é igual a
, então
.
Por outro lado, 1012 pode ser fatorado. Vamos fatorar 1012:
Então,
.
Passo 8
Comparando os fatores primos de ambos os lados da equação
:
Do lado esquerdo temos
.
Do lado direito temos
.
Para que esses dois lados sejam iguais, os expoentes dos mesmos fatores primos devem ser iguais. Ou seja:
-
⇒ -
e
Passo 9
A equação
só é verdadeira se
. Mas se
, a fração
não está definida, o que é um absurdo porque assumimos que
.
Passo 10
Essa contradição mostra que nossa suposição inicial de que
é racional está errada. Portanto,
deve ser irracional.
Resposta
Concluímos que
é um número irracional.
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Seja
o conjunto de estudantes que mora a um quilômetro de distância da faculdade
, o conjunto dos estudantes que vão a pé para as aulas. Descreva quais são os estudantes em cada um dos conjuntos abaixo.
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Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se a e b forem números reais tais que
, então
.
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