Prove que: Usando a mesma técnica empregada no item (a), mostre que é um número irracional

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que é um número irracional usando a mesma técnica do item (a). Estamos falando de teoria dos números, especificamente sobre números irracionais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um número irracional e como provar que um número específico não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número irracional. Um número irracional é aquele que não pode ser escrito como uma fração , onde e são inteiros e . Exemplos clássicos são e .

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão . Aqui, está na base 10, a não ser que seja especificado de outra forma. Queremos mostrar que esse logaritmo não pode ser escrito como uma fração de dois inteiros.

Passo 4

Vamos assumir, para fins de contradição, que seja racional. Ou seja, existe uma fração , onde e são inteiros, tal que:

Passo 5

Se rearranjarmos essa equação usando as propriedades dos logaritmos, temos:
Isso significa que é igual a 10 elevado a uma fração .

Passo 6

Elevando ambos os lados à potência , obtemos:
Isso implica que é uma potência exata de 10.

Passo 7

Agora, vamos analisar os fatores primos de ambos os lados. O número 10 é igual a , então .
Por outro lado, 1012 pode ser fatorado. Vamos fatorar 1012:
Então, .

Passo 8

Comparando os fatores primos de ambos os lados da equação :
Do lado esquerdo temos .
Do lado direito temos .
Para que esses dois lados sejam iguais, os expoentes dos mesmos fatores primos devem ser iguais. Ou seja:
  • e

Passo 9

A equação só é verdadeira se . Mas se , a fração não está definida, o que é um absurdo porque assumimos que .

Passo 10

Essa contradição mostra que nossa suposição inicial de que é racional está errada. Portanto, deve ser irracional.

Resposta

Concluímos que é um número irracional.

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