Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se a e b forem números reais tais que , então .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se temos dois números reais, a e b, e a^4 + b^6 = 0, então necessariamente a e b precisam ser iguais a zero. Vamos resolver isso usando a contrapositiva. Para isso, precisamos entender o que é contrapositiva e como aplicá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é contrapositiva. Se temos uma afirmação do tipo “Se P, então Q”, a contrapositiva dela é “Se não Q, então não P”. É uma forma útil de provar uma afirmação, especialmente quando a contrapositiva é mais fácil de demonstrar.

Passo 3

No nosso caso, a afirmação original é: “Se a^4 + b^6 = 0, então a = 0 e b = 0”. Vamos identificar P e Q:
  • P: a^4 + b^6 = 0
  • Q: a = 0 e b = 0
Então, a contrapositiva será: “Se a ≠ 0 ou b ≠ 0, então a^4 + b^6 ≠ 0”.

Passo 4

Agora, vamos provar a contrapositiva. Suponha que a ≠ 0 ou b ≠ 0. Como a e b são números reais, sabemos que qualquer número real elevado a uma potência par (como 4 ou 6) é sempre maior ou igual a zero.

Passo 5

Se a ≠ 0, então a^4 > 0. Se b ≠ 0, então b^6 > 0. Portanto, se pelo menos um deles for diferente de zero, a soma a^4 + b^6 será maior que zero, ou seja, a^4 + b^6 ≠ 0.

Passo 6

Assim, mostramos que a contrapositiva é verdadeira: se a ≠ 0 ou b ≠ 0, então a^4 + b^6 ≠ 0. Pelo fato de que a contrapositiva é verdadeira, a afirmação original também deve ser verdadeira.

Resposta

Portanto, se a^4 + b^6 = 0, então necessariamente a = 0 e b = 0.

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