Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo
:
(a) A soma dos
primeiros números pares é igual a
.
(a) A soma dos
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando o Princípio da Indução Finita, que a soma dos
primeiros números pares é igual a
. Vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações válidas para todos os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando
.
Para
, a soma dos primeiros números pares é apenas o próprio 2. Vamos ver se a fórmula bate:
Então, quando
, a soma dos números pares é 2, que concorda com a fórmula. Base do nosso processo de indução confirmada!
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural
. Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Passo 4
Com base nessa hipótese, precisamos mostrar que a afirmação também vale para
. Ou seja, devemos provar que:
Para isso, vamos expressar a soma dos
números pares como a soma dos
primeiros mais o próximo número par. O próximo número par após os
primeiros é
.
Então:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão para ver se ela se iguala a
.
Fatorando
:
Isso mostra que a expressão se iguala exatamente ao que queríamos provar. Assim, se a afirmação é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Passo 6
Como verificamos a base da indução e mostramos que, se a afirmação é verdadeira para
, então é verdadeira para
, podemos concluir pelo Princípio da Indução Finita que a afirmação é válida para todo
.
Resposta
Por meio da indução matemática, demonstramos que a soma dos
primeiros números pares é igual a
para todo número natural
.
Exercícios relacionados
Considere o universo
e os subconjuntos
,
e
. Determine:
(e) e
.
(e)
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(d)
(d)
Seja
. Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
© .
©
Negue as seguintes proposições:
(d) Todo elemento de um conjunto é elemento do conjunto
.
(d) Todo elemento de um conjunto