Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo :
(a) A soma dos primeiros números pares é igual a .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar, usando o Princípio da Indução Finita, que a soma dos primeiros números pares é igual a . Vamos precisar entender como funciona a indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações válidas para todos os números naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para o caso inicial, ou seja, quando .
Para , a soma dos primeiros números pares é apenas o próprio 2. Vamos ver se a fórmula bate:
Então, quando , a soma dos números pares é 2, que concorda com a fórmula. Base do nosso processo de indução confirmada!

Passo 3

Agora, vamos supor que a afirmação seja verdadeira para algum número natural . Isso é chamado de hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
ú

Passo 4

Com base nessa hipótese, precisamos mostrar que a afirmação também vale para . Ou seja, devemos provar que:
ú
Para isso, vamos expressar a soma dos números pares como a soma dos primeiros mais o próximo número par. O próximo número par após os primeiros é .
Então:
ú

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para ver se ela se iguala a .
Fatorando :
Isso mostra que a expressão se iguala exatamente ao que queríamos provar. Assim, se a afirmação é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Passo 6

Como verificamos a base da indução e mostramos que, se a afirmação é verdadeira para , então é verdadeira para , podemos concluir pelo Princípio da Indução Finita que a afirmação é válida para todo .

Resposta

Por meio da indução matemática, demonstramos que a soma dos primeiros números pares é igual a para todo número natural .

Exercícios relacionados

Considere o universo e os subconjuntos , e . Determine:
(e) e .
Descreva os conjuntos abaixo na forma enumerativa:
(d)
Seja . Determine se as seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:
© .
Negue as seguintes proposições:
(d) Todo elemento de um conjunto é elemento do conjunto .