Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo
:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Princípio da Indução Matemática. A questão pede para provar que para todo número natural
, a soma dos quadrados de 1 até
é igual a
. Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para
. Isso é chamado de caso base.
Calculemos a soma dos quadrados até 1:
Agora, substituindo
na fórmula:
Como os dois lados são iguais, o caso base está comprovado.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número natural
. Esse é o nosso passo da indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Com base na hipótese de indução, precisamos provar que a fórmula também funciona para
. Ou seja, devemos mostrar que:
Começamos adicionando
aos dois lados da hipótese de indução:
Vamos fatorar
na expressão:
Simplificando dentro do parênteses:
Fatorando o numerador:
Agora, multiplicando de volta pelo
:
Que é exatamente o que queríamos provar para
.
Passo 5
Como mostramos que a fórmula funciona para
e que se funciona para
, então também funciona para
, pelo Princípio da Indução Matemática, a fórmula é válida para todo número natural
.
Resposta
Portanto, para todo
, a soma dos quadrados de 1 até
é igual a
.