Prove, usando o Princípio da Indução Finita, que as afirmações a seguir são válidas para todo n in N :
(d) 1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Princípio da Indução Matemática. A questão pede para provar que para todo número natural , a soma dos quadrados de 1 até é igual a . Para isso, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para . Isso é chamado de caso base.
Calculemos a soma dos quadrados até 1:
Agora, substituindo na fórmula:
Como os dois lados são iguais, o caso base está comprovado.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a fórmula funciona para algum número natural . Esse é o nosso passo da indução. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Com base na hipótese de indução, precisamos provar que a fórmula também funciona para . Ou seja, devemos mostrar que:
Começamos adicionando aos dois lados da hipótese de indução:
Vamos fatorar na expressão:
Simplificando dentro do parênteses:
Fatorando o numerador:
Agora, multiplicando de volta pelo :
Que é exatamente o que queríamos provar para .

Passo 5

Como mostramos que a fórmula funciona para e que se funciona para , então também funciona para , pelo Princípio da Indução Matemática, a fórmula é válida para todo número natural .

Resposta

Portanto, para todo , a soma dos quadrados de 1 até é igual a .

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